何を近似したか・何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第23章 §23.6　★★ 近似は主方程式を作るときの1周の平均化と、利得の線と変調の放物線への展開。櫛の歯の式は厳密である。測る量は自己相関の幅・スペクトルの幅・$\nu_{\mathrm{rep}}$ と f–2f のうなり

置いた近似

1つ目は、1周の間に起こる変化をすべて小さいとして、離散的な1周ごとの写像を連続な遅い時間 $T$ の微分方程式 (23.9), (23.13) に置き換えたことである。共振器の中で利得・変調・分散・非線形性は別々の場所で起こるが、どれも1周あたりの変化が小さければ、順番の違いは小さいものの積の大きさの補正にしかならない。これは速い1周の運動を平均化した B 型の近似で、小さいものは1周あたりの利得・損失・非線形の位相である。ソリトンのレーザーでこの前提が弱まると、パルスは1周の中で周期的に乱され、その周期に共鳴する周波数でスペクトルに鋭い側帯が現れる。

2つ目は、能動モード同期で、利得の線を $\omega^2$ まで、変調の損失を $t^2$ まで展開したことである。小さいものは $1/(\Omega_{\mathrm g}\tau_a)$ と $\omega_{\mathrm m}\tau_a$ で、例題 23.3 ではそれぞれ $0.041$ と $0.041$ になる（2つは式 (23.11) から $\Omega_{\mathrm g}\tau_a\cdot\omega_{\mathrm m}\tau_a=\sqrt{2g/M}$ で結ばれる）。展開の次の項は相対的に小さいものの2乗の大きさで、厳密な $\cos$ の固有値問題との比較は verify_ch23.py で数値で確かめた。

3つ目は、可飽和吸収体と Kerr 効果を瞬間の出力だけの関数にしたことである。回復の時間がパルスより長い吸収体（半導体の可飽和吸収鏡など）では、損失がパルスのエネルギーの積分に依存し、ここでの形は使えない。Kerr 効果は電子の応答で数フェムト秒より速いので、ピコ秒からその少し下のパルスではこの扱いが成り立つ。ここには小さいパラメータが立たないので、札は1つ目のものに含めた。

光周波数コムの式 (23.16) は近似を含まない。式の導出では、パルス列が厳密に周期的であることだけを仮定した。実際のレーザーでは $\nu_{\mathrm{rep}}$ と $\nu_{\mathrm{ceo}}$ が雑音で揺らぐので、歯は有限の線幅を持ち、2つを基準に固定したときに初めて式どおりの物差しになる。

何の実験の量で確かめるか

パルスの幅は、ピコ秒より短いと光検出器の応答では測れない。そこで、パルスを2つに分けて時間 $\tau$ だけずらし、非線形結晶で重ねて2倍の高調波の強さを $\tau$ の関数として測る。これを強度の自己相関と呼ぶ。自己相関 $G_2(\tau)=\int I(t)I(t-\tau)\mathrm{d} t$ の半値全幅とパルスの半値全幅の比は形で決まり、Gauss 型で $\sqrt2=1.414$、$\mathrm{sech}^2$ 型で $1.543$ である。形を仮定しないと幅は決まらないので、スペクトルを同時に測り、時間帯域幅積が式 (23.6) の値に近いかどうかで形の仮定とチャープの有無を確かめる。

パルス列の周期は、光検出器の出力のラジオ波のスペクトルに $\nu_{\mathrm{rep}}$ とその倍数の線として現れる。モード同期が崩れて位相が乱れると、この線の幅が広がり、線のまわりに雑音が現れる。f–2f のうなりは $\nu_{\mathrm{ceo}}$ を直接示し、$\nu_{\mathrm{ceo}}$ と $\nu_{\mathrm{rep}}$ を固定したコムどうしを比べれば、櫛の歯が式 (23.16) どおりに等間隔に並んでいるかが確かめられる。

授業で習った形との対応

学部の光学やレーザー工学の授業では、モード同期を「$N$ 個のモードの位相がそろうと、強度 $I(t)=I_0\sin^2(N\pi t/t_{\mathrm{rt}})/\sin^2(\pi t/t_{\mathrm{rt}})$ のパルス列になり、幅は $\Delta t\approx t_{\mathrm{rt}}/N=1/\Delta\nu$、ピークは平均の $N$ 倍」と書くことが多い。これは式 (23.4) に $\omega_{\mathrm{rep}}=2\pi/t_{\mathrm{rt}}$ を入れたものである。$\Delta t\approx1/\Delta\nu$ は最初の零点までの時間 $t_{\mathrm{rt}}/N$ で、半値全幅はその $0.886$ 倍（式 (23.5)）になる。同じ式は、第6章（第6章）の $N$ 本のスリットの回折格子の強度 $\sin^2(N\delta/2)/\sin^2(\delta/2)$（$\delta$ はとなりのスリットからの光の位相差）と同じ関数である。格子ではスリットが空間に等間隔に並び、回折の角度に鋭い主極大ができる。モード同期では周波数にモードが等間隔に並び、時間に鋭いパルスができる。

時間帯域幅積は、授業では「$\Delta t\,\Delta\nu\ge0.441$（Gauss 型）」の形で習う。不等号は、チャープを持つパルスが式 (23.7) で変換限界より大きな積を持つことを表し、定理 23.1 の2乗平均の幅の不等式を半値全幅の言葉で書いたものに当たる（半値全幅の積の下限はパルスの形によって変わるので、厳密な不等式は2乗平均の幅でしか書けない）。光周波数コムは授業で $f_n=nf_{\mathrm r}+f_0$ と書かれることが多く、$f_{\mathrm r}=\nu_{\mathrm{rep}}$、$f_0=\nu_{\mathrm{ceo}}$ に当たる。