出てくるもの（3）：光周波数コム

光学と量子エレクトロニクス　第23章 §23.5　★★★ 1周ごとに搬送波が包絡線に対して $\Delta\phi_{\mathrm{ce}}$ ずれるパルス列のスペクトルは、厳密に $\nu_n=n\nu_{\mathrm{rep}}+\nu_{\mathrm{ceo}}$ の櫛になる。$\nu_{\mathrm{rep}}$ と $\nu_{\mathrm{ceo}}$ の2つのラジオ波の周波数を測れば、光の周波数が数えられる

櫛の歯の式

共振器から出るパルス列を、時間の領域で書く。パルスは $t_{\mathrm{rt}}$ ごとに出て、包絡線 $a(t)$ は毎回同じである。ただし包絡線は群速度で、搬送波は位相速度で進むので、1周するたびに搬送波の位相が包絡線に対して

$$\Delta\phi_{\mathrm{ce}}=\omega_{\mathrm c}\sum_iL_i\Bigl(\frac1{v_{\mathrm g,i}}-\frac1{v_{\mathrm p,i}}\Bigr)=\frac{\omega_{\mathrm c}}{c}\sum_iL_i\,(n_{\mathrm g,i}-n_i)\pmod{2\pi}\tag{23.15}$$

だけずれる（$n_{\mathrm g}$ は群屈折率、第11章）。$k$ 番目のパルスの搬送波が包絡線に対して位相 $k\Delta\phi_{\mathrm{ce}}$ だけ進むとして、複素の場を

$$u(t)=\sum_{k}a(t-kt_{\mathrm{rt}})\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_{\mathrm c}(t-kt_{\mathrm{rt}})}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\Delta\phi_{\mathrm{ce}}}$$

と書く。

証明

和の番号を1つずらすと $u(t+t_{\mathrm{rt}})=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Delta\phi_{\mathrm{ce}}}u(t)$ である。したがって $p(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{\mathrm{ceo}}t}u(t)$ は周期 $t_{\mathrm{rt}}$ の周期関数で、Fourier 級数 $p(t)=\sum_nc_n\mathrm{e}^{-\mathrm{i} n\omega_{\mathrm{rep}}t}$ に展開できる。$u(t)=\sum_nc_n\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(n\omega_{\mathrm{rep}}+\omega_{\mathrm{ceo}})t}$ なので、$u$ は式 (23.16) の角周波数だけを含む。係数は $c_n=t_{\mathrm{rt}}^{-1}\int_0^{t_{\mathrm{rt}}}p(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\omega_{\mathrm{rep}}t}\mathrm{d} t$ で、$p$ に $u$ の和を入れて1周期の積分と $k$ の和を全時間の積分にまとめると、$c_n=t_{\mathrm{rt}}^{-1}\tilde a(\omega_n-\omega_{\mathrm c})$ になる。

整数 $n$ は光の周波数では $10^6$ の桁になる。式 (23.16) は、パルス列が厳密に周期的（毎回同じ包絡線、毎回同じ位相のずれ）であることだけから出たもので、近似を含まない。$\nu_{\mathrm{rep}}$ は $\Delta\phi_{\mathrm{ce}}$ の $2\pi$ の倍数のあいまいさを吸収するので、$\nu_{\mathrm{ceo}}$ は $0\le\nu_{\mathrm{ceo}}<\nu_{\mathrm{rep}}$ にとる。第1章（第1章）で予告した縦モードの櫛 $\nu_\ell=\ell\nu_{\mathrm{rep}}+\nu_{\mathrm{ceo}}$ がこれである。$\nu_{\mathrm{ceo}}$ をキャリアエンベロープオフセット周波数と呼ぶ。

f–2f 法で $\nu_{\mathrm{ceo}}$ を測る

$\nu_{\mathrm{rep}}$ はパルス列を光検出器で受ければ、その出力の基本の周波数としてそのまま測れる。$\nu_{\mathrm{ceo}}$ は櫛の全体のずれなので、櫛の歯どうしのうなりからは出てこない。スペクトルが1オクターブ（周波数で2倍）以上に広がっていれば、低い側の歯 $\nu_n$ を非線形結晶で2倍にした $2\nu_n=2n\nu_{\mathrm{rep}}+2\nu_{\mathrm{ceo}}$ と、高い側の歯 $\nu_{2n}=2n\nu_{\mathrm{rep}}+\nu_{\mathrm{ceo}}$ を重ねて、うなりの周波数

$$2\nu_n-\nu_{2n}=\nu_{\mathrm{ceo}}\tag{23.17}$$

を測ることができる。これを f–2f 法（自己参照法）と呼ぶ。うなりは第9章（第9章）の2つのモードの干渉を光検出器で受けたもので、多くの歯の組が同じ周波数 $\nu_{\mathrm{ceo}}$ のうなりを作るので信号が強くなる。レーザーから直接オクターブの幅が出ないときは、パルスを非線形性の大きいファイバーに通し、自己位相変調などでスペクトルを広げる（第17章）。フォトニック結晶ファイバーで広げたスペクトルを使って f–2f 法で $\nu_{\mathrm{ceo}}$ を安定化し、マイクロ波の時計を基準に光の周波数を直接測ることが示された（Jones ら (2000), Science 288, 635）。光周波数コムを含むレーザー精密分光の業績により、Hall と Hänsch は 2005 年の Nobel 物理学賞を受けた。全体の解説は Udem, Holzwarth, Hänsch (2002), Nature 416, 233 にある。

光の周波数を数える

$\nu_{\mathrm{rep}}$ と $\nu_{\mathrm{ceo}}$ を原子時計（セシウムの周波数標準）に基準を置いた周波数で測るか固定すると、すべての歯の周波数が式 (23.16) で決まる。周波数を知りたいレーザー（周波数 $\nu_x$）の光をコムと重ねると、最も近い歯 $\nu_n$ とのうなり $f_{\mathrm b}=\lvert \nu_x-\nu_n\rvert$ がラジオ波の周波数で現れ、

$$\nu_x=n\,\nu_{\mathrm{rep}}+\nu_{\mathrm{ceo}}\pm f_{\mathrm b}\tag{23.18}$$

となる。整数 $n$ は、$\nu_x$ を波長計で $\nu_{\mathrm{rep}}/2$ より良い精度で前もって測っておけば決まる。符号は、$\nu_{\mathrm{rep}}$ を少し上げたときにうなりが増えるか減るかで決まる（$\nu_n$ が上がるので、$\nu_x>\nu_n$ ならうなりは減る）。光の周波数（数百 THz）を直接数える電子回路は無いが、この方法では数百 MHz までの周波数を測るだけで済む。逆に、光の周波数の基準に1本の歯を合わせると、$\nu_{\mathrm{rep}}$ は光の周波数を整数 $n$ で割った安定なマイクロ波になる。光格子時計の周波数をマイクロ波へつなぐのはこの使い方である（第28章）。