出てくるもの（2）：受動モード同期とソリトン

光学と量子エレクトロニクス　第23章 §23.4　★★ 強い光ほど損失が小さい素子はパルスの山だけを残し、負の群速度分散と自己位相変調がつり合うと $\mathrm{sech}$ 型のソリトンが1周ごとに形を保つ。幅は $\tau=2\lvert D\rvert /(\delta_{\mathrm K}W_{\mathrm p})$ でエネルギーに反比例する

速い可飽和吸収体

能動モード同期のパルスの幅は、前節で見たように変調の周波数で制限される。パルス自身の強度で損失を変えれば、損失の変化はパルスと同じ速さで起こり、この制限が無くなる。回復の時間がパルスの幅より短い可飽和吸収体（速い可飽和吸収体）では、振幅の損失が瞬間の出力 $\lvert a\rvert ^2$ で決まり、$q(\lvert a\rvert ^2)=q_0/(1+\lvert a\rvert ^2/P_{\mathrm{sat}})\approx q_0-(q_0/P_{\mathrm{sat}})\lvert a\rvert ^2$ となる。主方程式には $+\eta_{\mathrm{sa}}\lvert a\rvert ^2a$（$\eta_{\mathrm{sa}}=q_0/P_{\mathrm{sat}}$）の項が加わる。パルスの山は損失が小さく、裾は損失が大きいので、1周ごとにパルスは短くなり、利得の帯域による広がりとつり合う所で止まる。固体の中の Kerr 効果で光の強い所に凸レンズができ（Kerr レンズ）、強い光ほど開口を通りやすくなる配置も、同じ働きをする速い可飽和吸収体になる。分散を補償した Ti:サファイアのレーザーでこの仕組みを使い、$60\,\mathrm{fs}$ のパルスが直接得られた（Spence, Kean, Sibbett (1991), Opt. Lett. 16, 42）。

分散と自己位相変調

パルスが短くなると、共振器の中の群速度分散と、強度に比例する屈折率の変化 $n=n_0+n_2I$（Kerr 効果、第17章）による位相を無視できなくなる。1周の群速度分散を $D=\sum_ik''_iL_i$ とすると、23.2節のとおり包絡線は角周波数のずれ $\omega$ ごとに位相 $D\omega^2/2$ を受け、$\omega^2\to-\partial_t^2$ から主方程式に $-\mathrm{i}(D/2)\partial_t^2a$ の項が加わる。Kerr 効果は瞬間の出力に比例する位相 $\delta_{\mathrm K}\lvert a\rvert ^2$ を与え、$\delta_{\mathrm K}=k_0n_2L_{\mathrm K}/A_{\mathrm{eff}}$（$L_{\mathrm K}$ は1周で Kerr 媒質を通る長さ、$A_{\mathrm{eff}}$ はビームの実効的な断面積）である。利得と損失がつり合っていて、その帯域の効果が分散と非線形性より小さいとき、主方程式は

$$t_{\mathrm{rt}}\,\frac{\partial a}{\partial T}=-\mathrm{i}\frac D2\frac{\partial ^2a}{\partial t^2}+\mathrm{i}\delta_{\mathrm K}\lvert a\rvert ^2a\tag{23.13}$$

になる。これは非線形 Schrödinger 方程式で、$T$ が時間、$t$ が空間の役をしている。

ソリトン

$a(T,t)=A_0\,\mathrm{sech}(t/\tau)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta T/t_{\mathrm{rt}}}$ を入れる。$\mathrm{sech}''=(\mathrm{sech}-2\,\mathrm{sech}^3)/\tau^2$ を使うと、右辺は

$$\mathrm{i}\Bigl[-\frac{D}{2\tau^2}\Bigr]a+\mathrm{i}\Bigl[\frac{D}{\tau^2}+\delta_{\mathrm K}A_0^2\Bigr]A_0\,\mathrm{sech}^3(t/\tau)$$

で、左辺は $\mathrm{i}\theta a$ である。$\mathrm{sech}^3$ の項が消えるには $D/\tau^2+\delta_{\mathrm K}A_0^2=0$ が要り、これは $D<0$（負の群速度分散、異常分散）のときだけ満たせる。そのとき $\theta=\lvert D\rvert /(2\tau^2)$ である。パルスのエネルギー $W_{\mathrm p}=\int\lvert a\rvert ^2\mathrm{d} t=2A_0^2\tau$ を使って $A_0$ を消すと、

$$\lvert D\rvert =\delta_{\mathrm K}A_0^2\tau^2,\qquad \tau=\frac{2\lvert D\rvert }{\delta_{\mathrm K}W_{\mathrm p}}\tag{23.14}$$

を得る。この解を（基本の）ソリトンと呼ぶ。強度は $\mathrm{sech}^2$ 型で、半値全幅は $\tau_{\mathrm p}=1.763\,\tau$、チャープは無いので時間帯域幅積は $0.315$ である。

つり合いの中身は次のとおりである。Kerr 効果の位相 $\delta_{\mathrm K}\lvert a\rvert ^2$ はパルスの前半で時間とともに増え、後半で減る。電場 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_{\mathrm c}t+\mathrm{i}\delta_{\mathrm K}\lvert a\rvert ^2}$ の瞬間の角周波数は $\omega_{\mathrm c}-\delta_{\mathrm K}\partial_t\lvert a\rvert ^2$ なので、前半は周波数が下がり（赤）、後半は上がる（青）。これを自己位相変調と呼ぶ。負の群速度分散の中では青い成分が赤い成分より速く進むので、後ろの青が前の赤に追いつき、自己位相変調で広がろうとするパルスが押し縮められる。2つが1周ごとに打ち消し合う幅が式 (23.14) である。正の分散の中では、どちらの効果もパルスの前を赤、後ろを青にする向きに働くので、つり合いは成り立たない。