出てくるもの（1）：能動モード同期と Gauss 型のパルス

光学と量子エレクトロニクス　第23章 §23.3　★★ 1周ごとの変化を主方程式にまとめると、利得の帯域の有限さは $\partial_t^2$、変調は $t^2$ の項になり、定常なパルスは調和振動子の基底状態と同じ Gauss 型になる。幅は変調の周波数と利得の帯域の幾何平均の逆数に比例する

1周の主方程式

共振器の中を回るパルスを、出口の鏡の位置で1周ごとに観測する。$T$ を1周ごとに $t_{\mathrm{rt}}$ ずつ進む遅い時間、$t$ をパルスとともに動く速い時間とし、包絡線を $a(T,t)$ と書く（$\lvert a\rvert ^2$ を出力の単位で測る）。1周の間に包絡線が受ける変化が小さいとき、$a(T+t_{\mathrm{rt}},t)-a(T,t)\approx t_{\mathrm{rt}}\,\partial_Ta$ と置いて、1周に起こることを足し合わせる。

利得媒質は、第19章（第19章）の均一に広がった線を持つとする。線の中心 $\omega_{\mathrm c}$ から $\omega$ だけずれた成分の振幅の利得は $g/(1+\omega^2/\Omega_{\mathrm g}^2)$ で、$\Omega_{\mathrm g}$ は利得の線の半値半幅（均一な広がりでは $1/T_2$）である。パルスのスペクトルが線の幅より狭いとき、$g(1-\omega^2/\Omega_{\mathrm g}^2)$ と展開できる。包絡線の成分 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ に対して $\partial_t^2$ は $-\omega^2$ をかけるので、$-\omega^2$ を $\partial_t^2$ に置き換えると、利得は $g(1+\Omega_{\mathrm g}^{-2}\partial_t^2)$ という作用になる。損失 $l$（鏡の透過と散乱）、変調器の振幅の損失 $M(1-\cos\omega_{\mathrm m}t)$ を合わせ、どれも1周あたり $1$ よりずっと小さいとすると、

$$t_{\mathrm{rt}}\,\frac{\partial a}{\partial T}=\Bigl[g-l+\frac{g}{\Omega_{\mathrm g}^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2}-M(1-\cos\omega_{\mathrm m}t)\Bigr]a\tag{23.9}$$

を得る。これを能動モード同期の主方程式と呼ぶ（Haus (2000), IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron. 6, 1173 の形）。変調の角周波数は $\omega_{\mathrm m}=\omega_{\mathrm{rep}}$ に合わせる。そうしないと、パルスは1周ごとに変調の違う位相に来て、同じ場所に留まらない。

定常なパルスは調和振動子の基底状態

パルスが変調の損失の最も小さい時刻 $t=0$ の近くにあり、幅が変調の周期よりずっと短いとすると、$M(1-\cos\omega_{\mathrm m}t)\approx M\omega_{\mathrm m}^2t^2/2$ と展開できる。定常な解を $a(T,t)=a(t)\,\mathrm{e}^{\lambda T/t_{\mathrm{rt}}}$ と置くと、

$$\frac{g}{\Omega_{\mathrm g}^2}\,a''-\frac{M\omega_{\mathrm m}^2}{2}\,t^2a=-(g-l-\lambda)\,a\tag{23.10}$$

になる。これは調和振動子の Schrödinger 方程式と同じ形で、第4章（第4章）で高次のガウスビームを出したときと同じく、解は Hermite–Gauss 関数である。基底の解 $a=\exp(-t^2/(2\tau_a^2))$ を入れると $a''=(t^2/\tau_a^4-1/\tau_a^2)a$ なので、$t^2$ の係数と定数の項がそれぞれつり合って

$$\tau_a^4=\frac{2g}{M\omega_{\mathrm m}^2\Omega_{\mathrm g}^2},\qquad g-l-\lambda=\frac{g}{\Omega_{\mathrm g}^2\tau_a^2}=\sqrt{\frac{gM}{2}}\,\frac{\omega_{\mathrm m}}{\Omega_{\mathrm g}}\tag{23.11}$$

を得る。強度の半値全幅は $\tau_{\mathrm p}=2\sqrt{\ln2}\,\tau_a=1.665\,\tau_a$ である。$n$ 番目の Hermite–Gauss の解は $g-l-\lambda_n=(2n+1)g/(\Omega_{\mathrm g}^2\tau_a^2)$ を満たすので、$\lambda_n$ は基底の解が最も大きい。利得が飽和して $\lambda_0=0$ まで下がると、ほかの解は1周ごとに減衰し、基底の Gauss 型のパルスだけが残る。Gauss 型の定常なパルスと式 (23.11) の幅の形は、Kuizenga と Siegman が利得と変調の自己無撞着な条件から求めた（Kuizenga, Siegman (1970), IEEE J. Quantum Electron. QE-6, 694）。

式 (23.10) の2つの項の役割は次のとおりである。変調の損失はパルスの中心から外れた時刻ほど大きいので、パルスは1周ごとに時間の上で両端が削られて短くなる。利得は線の中心から外れた周波数の成分ほど小さいので、スペクトルは1周ごとに両端が削られ、パルスは時間の上で広がる。両者がつり合う幅が $\tau_a$ である。$\tau_a\propto(\omega_{\mathrm m}\Omega_{\mathrm g})^{-1/2}$ なので、パルスの幅は利得の帯域の逆数 $1/\Omega_{\mathrm g}$ と変調の周期の幾何平均の程度にとどまり、帯域の逆数までは縮まない。変調の深さ $M$ への依存は $M^{-1/4}$ と弱く、幅を半分にするには $M$ を16倍にする必要がある。

周波数の上での見方

同じ方程式を縦モードの振幅で書くこともできる。$a(t)=\sum_\ell A_\ell\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\ell\omega_{\mathrm m}t}$ を式 (23.9) に入れ、$\cos\omega_{\mathrm m}t\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\ell\omega_{\mathrm m}t}$ が $\ell\pm1$ の項を作ることを使うと、展開する前の式から

$$t_{\mathrm{rt}}\,\frac{\mathrm{d} A_\ell}{\mathrm{d} T}=\Bigl[g\Bigl(1-\frac{\ell^2\omega_{\mathrm m}^2}{\Omega_{\mathrm g}^2}\Bigr)-l-M\Bigr]A_\ell+\frac M2\bigl(A_{\ell+1}+A_{\ell-1}\bigr)\tag{23.12}$$

が得られる。各モードは自分の利得で増え、変調によってとなりのモードと結合する。これは $\ell$ を格子点とする1次元の強束縛のモデルに、中心から離れるほど深くなる放物線のポテンシャルを足したものと同じ形である。23.1節で述べた「側帯がとなりのモードを駆動する」ことを、式にしたものである。$A_\ell$ を $\ell$ の滑らかな関数とみなして $A_{\ell+1}+A_{\ell-1}-2A_\ell\approx\partial_\ell^2A$ と置くと、式 (23.10) を Fourier 変換した形に戻る。