当てる道具：Fourier 変換と時間帯域幅積

光学と量子エレクトロニクス　第23章 §23.2　★★★ パルスの包絡線とスペクトルは Fourier 変換の対で、時間の幅と周波数の幅の積には下限がある。下限に達するのはチャープの無いパルスだけで、群速度分散はチャープを足してパルスを広げる

不確定性関係

1つのパルスの包絡線 $\mathcal E(t)$ のスペクトルを、記法の正本の流儀で $\tilde{\mathcal E}(\omega)=\int\mathcal E(t)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{d} t$ と書く（$\omega$ は搬送波 $\omega_{\mathrm c}$ から測った角周波数）。時間と周波数の広がりを、強度の重みによる2乗平均の幅

$$\sigma_t^2=\frac{\int(t-\bar t)^2\lvert \mathcal E\rvert ^2\,\mathrm{d} t}{\int\lvert \mathcal E\rvert ^2\,\mathrm{d} t},\qquad \sigma_\omega^2=\frac{\int(\omega-\bar\omega)^2\lvert \tilde{\mathcal E}\rvert ^2\,\mathrm{d}\omega}{\int\lvert \tilde{\mathcal E}\rvert ^2\,\mathrm{d}\omega}$$

で測る（$\bar t$, $\bar\omega$ は同じ重みの平均）。

証明

$\mathcal E(t)$ に $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bar\omega t}$ をかけ、時刻を $\bar t$ だけずらしても $\sigma_t$, $\sigma_\omega$ は変わらないので、$\bar t=\bar\omega=0$ としてよい。Parseval の等式 $\int\lvert \tilde{\mathcal E}\rvert ^2\mathrm{d}\omega/(2\pi)=\int\lvert \mathcal E\rvert ^2\mathrm{d} t$ と、$\mathcal E'$ の変換が $-\mathrm{i}\omega\tilde{\mathcal E}$ であることから、$\int\omega^2\lvert \tilde{\mathcal E}\rvert ^2\mathrm{d}\omega/(2\pi)=\int\lvert \mathcal E'\rvert ^2\mathrm{d} t$ である。したがって $W=\int\lvert \mathcal E\rvert ^2\mathrm{d} t$ として $\sigma_t^2\sigma_\omega^2W^2=\int\lvert t\mathcal E\rvert ^2\mathrm{d} t\int\lvert \mathcal E'\rvert ^2\mathrm{d} t$ になる。Cauchy–Schwarz の不等式から、これは $\lvert \int t\mathcal E^*\mathcal E'\mathrm{d} t\rvert ^2$ 以上である。一方、部分積分により $2\operatorname{Re}\int t\mathcal E^*\mathcal E'\mathrm{d} t=\int t\,(\lvert \mathcal E\rvert ^2)'\mathrm{d} t=-W$ なので、$\lvert \int t\mathcal E^*\mathcal E'\mathrm{d} t\rvert \ge W/2$ である。合わせて $\sigma_t\sigma_\omega\ge1/2$ を得る。等号には、Cauchy–Schwarz の等号 $\mathcal E'=\lambda t\mathcal E$ と、$\int t\mathcal E^*\mathcal E'\mathrm{d} t=\lambda\int t^2\lvert \mathcal E\rvert ^2\mathrm{d} t$ が実数であること（$\lambda$ が実数）の両方が要る。$\mathcal E'=\lambda t\mathcal E$ の解は $\mathcal E=C\mathrm{e}^{\lambda t^2/2}$ で、2乗可積分なので $\lambda=-1/\tau_0^2<0$ である。

量子力学の位置と運動量の不確定性関係と同じ証明で、$t$ と $\omega$ が Fourier 変換で結ばれた共役な変数であることだけを使っている。

時間帯域幅積

実験では2乗平均の幅でなく、強度の半値全幅 $\tau_{\mathrm p}$ と、スペクトルの強度 $\lvert \tilde{\mathcal E}\rvert ^2$ の周波数で測った半値全幅 $\Delta\nu_{\mathrm p}$ を使う。積 $\tau_{\mathrm p}\Delta\nu_{\mathrm p}$ を時間帯域幅積と呼ぶ。その値はパルスの形で決まる。Gauss 型 $\mathcal E=\exp(-t^2/(2\tau_0^2))$ では強度 $\mathrm{e}^{-t^2/\tau_0^2}$ の半値全幅が $\tau_{\mathrm p}=2\sqrt{\ln2}\,\tau_0$、スペクトル $\mathrm{e}^{-\omega^2\tau_0^2}$ の半値全幅が $\Delta\nu_{\mathrm p}=\sqrt{\ln2}/(\pi\tau_0)$ で、

$$\tau_{\mathrm p}\Delta\nu_{\mathrm p}=\frac{2\ln2}{\pi}=0.441\quad(\text{Gauss 型}),\qquad \tau_{\mathrm p}\Delta\nu_{\mathrm p}=\Bigl(\frac{2\ln(1+\sqrt2)}{\pi}\Bigr)^2=0.315\quad(\mathrm{sech}^2\ \text{型})\tag{23.6}$$

となる。$\mathrm{sech}^2$ 型は $\mathcal E=\mathrm{sech}(t/\tau)$ で、強度の半値全幅が $\tau_{\mathrm p}=2\ln(1+\sqrt2)\,\tau=1.763\,\tau$、スペクトルも $\mathrm{sech}(\pi\omega\tau/2)$ の形になることから出る。23.4節のソリトンがこの形である。チャープの無いパルスがこれらの値をとり、その状態を変換限界と呼ぶ。

チャープと群速度分散

包絡線に時間の2次の位相をつけた $\mathcal E=\exp[-(1+\mathrm{i} C)t^2/(2\tau_0^2)]$ を考える。$C$ をチャープの大きさと呼ぶ。強度は $C$ によらず同じだが、位相 $-Ct^2/(2\tau_0^2)$ を時間で微分した瞬間の角周波数のずれ $Ct/\tau_0^2$ が時間とともに変わる。Gauss 積分から $\tilde{\mathcal E}\propto\exp[-\omega^2\tau_0^2/(2(1+\mathrm{i} C))]$ で、その強度は $\exp[-\omega^2\tau_0^2/(1+C^2)]$ なので、スペクトルの幅は $\sqrt{1+C^2}$ 倍になり、

$$\tau_{\mathrm p}\Delta\nu_{\mathrm p}=0.441\sqrt{1+C^2}\tag{23.7}$$

となる。時間帯域幅積が変換限界の値より大きいことは、チャープがあることの目印である。

第11章（第11章）で、媒質の中を距離 $z$ 進む包絡線は、角周波数のずれ $\omega$ ごとに位相 $k''z\omega^2/2$ を受けることを示した（$k''=\mathrm{d}^2k/\mathrm{d}\omega^2$ は群速度分散）。チャープの無い Gauss 型のパルスから出発すると、$\tilde{\mathcal E}\propto\exp[-\omega^2(\tau_0^2-\mathrm{i} k''z)/2]$ で、逆変換は $\exp[-t^2/(2(\tau_0^2-\mathrm{i} k''z))]$ である。$1/(\tau_0^2-\mathrm{i} k''z)=(\tau_0^2+\mathrm{i} k''z)/(\tau_0^4+k''^2z^2)$ と書き直すと、包絡線は幅 $\tau(z)$ とチャープ $C(z)$ を持つ Gauss 型

$$\tau(z)=\tau_0\sqrt{1+\Bigl(\frac{k''z}{\tau_0^2}\Bigr)^2},\qquad C(z)=\frac{k''z}{\tau_0^2}\tag{23.8}$$

になる。スペクトルの強度は位相だけの変化では変わらないので、幅の増えた分がそのままチャープに入る。この幅の式は第11章の例題と同じものである。逆に、チャープを持つパルスに逆符号の $k''z$ を与えればチャープが消え、変換限界まで縮む。短いパルスのレーザーでは、プリズムの対や、層の厚さを変えた多層膜の鏡（チャープ鏡）で負の群速度分散を足し、共振器を1周したときの分散 $D=\sum_ik''_iL_i$ を打ち消すか、わずかに負にする。

分散は縦モードの間隔にも現れる。モード $\ell$ の共鳴の条件は、1周の位相 $\Phi(\omega)=\sum_ik_i(\omega)L_i$ が $2\pi\ell$ に等しいことである。となりのモードとの間隔は $\Delta\omega=2\pi/\Phi'(\omega)$ で、$\Phi'=\sum_iL_i/v_{\mathrm g,i}$ は1周の群遅延である。したがって $\nu_{\mathrm{rep}}$ は位相速度でなく群速度で決まり、$\Phi''=D\ne0$ なら間隔は周波数とともに少しずつ変わる。自由に発振するモードは厳密には等間隔でない。モード同期が成り立つと、結合によってすべてのモードが等間隔に引き込まれ、パルスは1周ごとに同じ形に戻る。その間隔が 23.5節の櫛の歯の間隔 $\nu_{\mathrm{rep}}$ である。