この章のまとめ

(1) $\nu_{\mathrm{rep}}=c/(n_{\mathrm g}L_{\mathrm f})=2.998\times10^8/(1.47\times2.04)=100\,\mathrm{MHz}$ である。第5章の自由スペクトル領域は空の共振器で1周の時間の逆数 $c/(2L)$ だった。23.2節で示したとおり、媒質があるときのモードの間隔は1周の群遅延 $\Phi'=n_{\mathrm g}L_{\mathrm f}/c$ の逆数で、パルスが1周する時間 $t_{\mathrm{rt}}$ と同じものである。パルス列の周期とモードの間隔が一致するので、櫛の歯の間隔は $\nu_{\mathrm{rep}}$ になる。

(2) 例題 23.4 から、スペクトルの半値全幅は $264\,\mathrm{GHz}$ である。歯の数は $264\,\mathrm{GHz}/100\,\mathrm{MHz}\approx2640$ 本。ソリトンはチャープが無い $\mathrm{sech}^2$ 型なので、強度の半値全幅は $1.19\,\mathrm{ps}=1190\,\mathrm{fs}$ である。この幅は、式 (23.5) の平らなスペクトルの見積もり $0.886/(2640\times100\,\mathrm{MHz})=3.4\,\mathrm{ps}$ より短い。sech 型のスペクトルは半値全幅の外にも裾の歯を持ち、その歯もパルスを短くする向きに加わるからである。

(3) $A_0^2=36.9\,\mathrm W$ なので、1周の非線形の位相は $\delta_{\mathrm K}A_0^2=2.65\times10^{-3}\times36.9=0.098\,\mathrm{rad}$。式 (23.14) から、これは分散による1周の位相 $\lvert D\rvert /\tau^2$ に等しい。$L_{\mathrm D}=(677\,\mathrm{fs})^2/(22\,\mathrm{ps^2/km})=20.8\,\mathrm m$ で、共振器の $10.2$ 周分にあたる。1周あたりの変化はどちらも $0.1\,\mathrm{rad}$ ほどで、平均化の前提は成り立つが余裕は大きくない。エネルギーを4倍の $200\,\mathrm{pJ}$ にすると $\tau$ は4分の1、$L_{\mathrm D}$ は16分の1の $0.6$ 周分になり、1周の位相が $1.6\,\mathrm{rad}$ に達して平均化の前提が崩れる。

(4) $2.06\,\mu\mathrm m$ の歯 $\nu_n$ を2倍にした $2\nu_n$ は、$1.03\,\mu\mathrm m$ の歯 $\nu_{2n}$ から $\nu_{\mathrm{ceo}}$ だけずれる（式 (23.17)）。同時に $2\nu_n$ は1本上の歯 $\nu_{2n+1}$ から $\nu_{\mathrm{rep}}-\nu_{\mathrm{ceo}}$ だけ離れているので、うなりは $\nu_{\mathrm{ceo}}$ と $\nu_{\mathrm{rep}}-\nu_{\mathrm{ceo}}$ の2本に出る。$35.0+65.0=100\,\mathrm{MHz}=\nu_{\mathrm{rep}}$ と合う。したがって $\nu_{\mathrm{ceo}}$ は $35.0\,\mathrm{MHz}$ か $65.0\,\mathrm{MHz}$ である。共振器の中の分散をわずかに変えて $\Delta\phi_{\mathrm{ce}}$ を増やす向き（例題 23.5 の板を厚くする向き）へ動かすと $\nu_{\mathrm{ceo}}$ が増えるので、増えたほうの線が $\nu_{\mathrm{ceo}}$、減ったほうが $\nu_{\mathrm{rep}}-\nu_{\mathrm{ceo}}$ である。スペクトルが1オクターブを超えていないと $\nu_n$ と $\nu_{2n}$ の両方を同時に得られないので、この測定にはスペクトルを広げる段が要る（ソリトンそのものの幅は $2\,\mathrm{nm}$ ほどしかない）。

(5) $1560\,\mathrm{nm}$ は $\nu=c/\lambda=192.18\,\mathrm{THz}$ で、$n\approx\nu/\nu_{\mathrm{rep}}=1.92\times10^6$ である。$\nu_n=n\nu_{\mathrm{rep}}+\nu_{\mathrm{ceo}}$ なので、$\nu_{\mathrm{ceo}}$ を固定したとき $\delta\nu_n=n\,\delta\nu_{\mathrm{rep}}$ である。$\delta\nu_n\le1\,\mathrm{Hz}$ には $\delta\nu_{\mathrm{rep}}\le1/n=5.2\times10^{-7}\,\mathrm{Hz}$ が要る。$\nu_{\mathrm{rep}}\propto1/L_{\mathrm f}$ から $\delta L_{\mathrm f}/L_{\mathrm f}=\delta\nu_{\mathrm{rep}}/\nu_{\mathrm{rep}}=5.2\times10^{-15}$ で、$\delta L_{\mathrm f}=1.1\times10^{-14}\,\mathrm m$ になる。これは原子核の大きさ（$10^{-15}$〜$10^{-14}\,\mathrm m$）の程度で、共振器の長さを機械的に固定するだけではこの精度に達しない。実際には $\nu_{\mathrm{rep}}$（または1本の歯）を周波数の基準に帰還制御で合わせ、共振器の長さを圧電素子で常に調節する。