この章のまとめ

(1) 式 (22.14) から $\mathcal T_{\mathrm{opt}}=\sqrt{0.20\times0.010}-0.010=0.0447-0.0100=0.0347$。飽和強度は例題 22.3 の $I_{\mathrm{sat}}=1.76\times10^6\,\mathrm{W\,m^{-2}}$ なので$I_{\mathrm{sat}}A/2=1.76\times10^6\times1.0\times10^{-7}/2=0.0882\,\mathrm W$、出力は $0.0882\,\mathrm W\times(\sqrt{0.20}-\sqrt{0.010})^2=0.0882\times0.1206=10.6\,\mathrm{mW}$ である。

(2) $G_0=2g_0L$ から $g_0=1.00\,\mathrm{m^{-1}}$、光が無いときの反転分布の密度は $g_0/\sigma_0=2.66\times10^{21}\,\mathrm{m^{-3}}$ で、モードの体積 $V=AL=1.0\times10^{-8}\,\mathrm{m^3}$ の中に $2.66\times10^{13}$ 個。これを寿命 $\tau$ に抗して保つので $R_{\mathrm p}=2.66\times10^{13}/(3.00\times10^{-4}\,\mathrm s)=8.88\times10^{16}\,\mathrm s^{-1}$ である。4準位の媒質では励起の光子1個が上の準位の原子1個を作るとすると（第21章）、吸収される励起のパワーは $R_{\mathrm p}hc/(808\,\mathrm{nm})=8.88\times10^{16}\times2.46\times10^{-19}=21.8\,\mathrm{mW}$。式 (22.13) の真ん中の形では、$\hbar\omega R_{\mathrm p}=17.6\,\mathrm{mW}$、$R_{\mathrm{th}}/R_{\mathrm p}=(\mathcal T+L_{\mathrm i})/G_0=0.2236$、$\mathcal T/(\mathcal T+L_{\mathrm i})=0.776$ から$P_{\mathrm{out}}=17.6\times(1-0.2236)\times0.776=10.6\,\mathrm{mW}$ で (1) と一致する。吸収した励起の $49\%$ が出力になり、残りは光子のエネルギーの差（$1-808/1000=19\%$）・しきい値までの自然放出・内部の損失で失われる。

(3) $t_{\mathrm{rt}}=2nL/c=1.001\,\mathrm{ns}$、$\tau_{\mathrm c}=t_{\mathrm{rt}}/(\mathcal T+L_{\mathrm i})=1.001\,\mathrm{ns}/0.0447=22.4\,\mathrm{ns}$（$-\ln[(1-\mathcal T)(1-L_{\mathrm i})]$ を使う厳密な形では $22.0\,\mathrm{ns}$ で、小さい損失の近似の誤差は $1.5\%$）。しきい値の利得は $g_{\mathrm{th}}=(\mathcal T+L_{\mathrm i})/(2L)=0.224\,\mathrm{m^{-1}}$、反転分布の密度は $g_{\mathrm{th}}/\sigma_0=5.96\times10^{20}\,\mathrm{m^{-3}}$。励起の比は $\xi=G_0/(\mathcal T+L_{\mathrm i})=0.20/0.0447=4.47$。

(4) 式 (22.11) から $\omega_{\mathrm R}=\sqrt{3.47/(3.00\times10^{-4}\times2.24\times10^{-8})}=7.19\times10^5\,\mathrm{s^{-1}}$、$\omega_{\mathrm R}/2\pi=114\,\mathrm{kHz}$、$\gamma_{\mathrm R}=\xi/(2\tau)=7.45\times10^3\,\mathrm s^{-1}$。例題 22.2（$\xi=2$）より励起が強いので、振動は速く、減衰も速い。

(5) 出力は $P_{\mathrm{out}}=\hbar\omega n_{\mathrm{ph}}\mathcal T/t_{\mathrm{rt}}$ なので $n_{\mathrm{ph}}=10.6\times10^{-3}\times1.001\times10^{-9}/(1.99\times10^{-19}\times0.0347)=1.54\times10^9$ 個。確かめとして $\tau_{\mathrm c}(R_{\mathrm p}-R_{\mathrm{th}})=2.24\times10^{-8}\times8.88\times10^{16}\times0.776=1.54\times10^9$ と一致する。共振器の共鳴の幅は $\Delta\nu_{\mathrm c}=1/(2\pi\tau_{\mathrm c})=7.1\,\mathrm{MHz}$ で、式 (22.23) から $\Delta\nu_{\mathrm{ST}}=\Delta\nu_{\mathrm c}/(2n_{\mathrm{ph}})=2.3\times10^{-3}\,\mathrm{Hz}$。レーザーの線は、利得の無い共振器の共鳴より $3\times10^9$ 倍細い。この細さを支えているのは、$K$ が小さく（$\beta=2.25\times10^{-9}$）自然放出のほとんどがほかのモードへ散って、発振しているモードの位相を乱さないことである。