当てる道具：光子数と反転分布のレート方程式

光学と量子エレクトロニクス　第22章 §22.2　★★★ 光子は $KN(n_{\mathrm{ph}}+1)$ で増え $n_{\mathrm{ph}}/\tau_{\mathrm c}$ で減る。しきい値は $KN\tau_{\mathrm c}=1$ で、その上では $N$ がしきい値に固定され、増やした励起はすべて光子になる

2本のレート方程式

上の準位へ原子を送り込む速さ（励起の速さ）を $R_{\mathrm p}$（単位 $\mathrm s^{-1}$）とする。22.1節の3つの選び方から、光子数と上の準位の原子の数の変化は次の2本の式で書ける。

$$\frac{\mathrm{d} n_{\mathrm{ph}}}{\mathrm{d} t}=KN(n_{\mathrm{ph}}+1)-\frac{n_{\mathrm{ph}}}{\tau_{\mathrm c}},\qquad \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=R_{\mathrm p}-\frac{N}{\tau}-KNn_{\mathrm{ph}}.\tag{22.7}$$

1本目の右辺の $KNn_{\mathrm{ph}}$ は誘導放出で増える光子、$KN$ はこのモードへの自然放出で増える光子、$n_{\mathrm{ph}}/\tau_{\mathrm c}$ は共振器から逃げる光子である。2本目の右辺は、励起で増える原子、自然放出（すべてのモードへ）で減る原子、誘導放出で減る原子である。誘導放出の項 $KNn_{\mathrm{ph}}$ が両方の式に符号を変えて現れ、誘導放出1回で原子1個が光子1個に変わることを表す。自然放出の項は、2本目では全体の $N/\tau$、1本目ではそのうちモードへ行く $KN=\beta N/\tau$ だけで、残りの $(1-\beta)N/\tau$ はほかのモードへ散って、このモードには戻らない。

しきい値

$n_{\mathrm{ph}}\gg1$ では1本目の式の $+1$ を落としてよく、$\mathrm{d} n_{\mathrm{ph}}/\mathrm{d} t=(KN-1/\tau_{\mathrm c})n_{\mathrm{ph}}$ となる。光子数が増えるか減るかは $KN$ と $1/\tau_{\mathrm c}$ の大小で決まる。

同じ条件を、第5章の「1周で自分に戻る場」の言葉で書き直しておく。利得の係数（強度が単位長さあたりに増える割合）は $g=\sigma N/V$ で、1周で強度は $\mathrm{e}^{2gL}$ 倍になり、鏡で $r_1^2r_2^2$ 倍になる。1周で強度が元に戻る条件は

$$r_1^2r_2^2\,\mathrm{e}^{2g_{\mathrm{th}}L}=1,\qquad g_{\mathrm{th}}=\frac{-\ln(r_1^2r_2^2)}{2L}\tag{22.9}$$

である。式 (22.5) と (22.1) を使うと $KN\tau_{\mathrm c}=(\sigma c/nV)N\cdot 2nL/(c[-\ln r_1^2r_2^2])=g/g_{\mathrm{th}}$ なので、式 (22.8) と式 (22.9) は同じ条件である。振幅で書けば、1周の因子 $r_1r_2\mathrm{e}^{gL}\mathrm{e}^{2\mathrm{i} knL}$ が $1$ に等しいことで、絶対値の条件がしきい値、位相の条件（$2knL$ が $2\pi$ の整数倍）が発振の周波数を決める。第5章では1周の因子の絶対値 $\lvert \gamma\rvert$ が $1$ より小さく、場は周回ごとに減った。利得の媒質はこの $\lvert \gamma\rvert$ を $1$ まで持ち上げる。

定常解と緩和振動

式 (22.10) の左の式が、この章で最も大事な結果である。しきい値より上では、励起をどれだけ強めても上の準位の原子の数はしきい値 $N_{\mathrm{th}}$ のまま変わらず、利得は損失の値に固定される（利得のクランプ）。増やした励起 $R_{\mathrm p}-R_{\mathrm{th}}$ は、誘導放出を通してすべて光子に変わり、寿命 $\tau_{\mathrm c}$ の間だけ共振器にとどまる。光子数が励起の増分に比例するのはこのためである。

緩和振動は、光子と反転分布がエネルギーをやり取りする振動である。光子が増えすぎると誘導放出で反転分布が減り、利得が損失を下回って光子が減る。光子が減ると反転分布が励起で回復し、また光子が増える。振動の周波数が $\tau$ と $\tau_{\mathrm c}$ の幾何平均で決まるのは、2つの変数の一方（光子）が速く、もう一方（原子）が遅く動くからで、$\omega_{\mathrm R}^2$ は2つの結合の係数の積 $Kn_0\cdot(1/\tau_{\mathrm c})$ に等しい。