出てくるもの（1）：利得の飽和・出力・しきい値の跳び

光学と量子エレクトロニクス　第22章 §22.3　★★★ 利得は $g_0/(1+I/I_{\mathrm{sat}})$ で飽和し、出力は出力結合 $\sqrt{G_0L_{\mathrm i}}-L_{\mathrm i}$ で最大になる。自然放出を残すと、しきい値で光子数は $1/\beta$ 倍に跳ぶ

利得の飽和

式 (22.7) の2本目で $\mathrm{d} N/\mathrm{d} t=0$ とおくと、光子数 $n_{\mathrm{ph}}$ が与えられたときの上の準位の数は $N=R_{\mathrm p}\tau/(1+K\tau n_{\mathrm{ph}})$ である。$Kn_{\mathrm{ph}}=\sigma I/(\hbar\omega)$（$I$ は共振器の中の強度。定在波の両向きの強度の和）を使うと、利得の係数 $g=\sigma N/V$ は

$$g=\frac{g_0}{1+I/I_{\mathrm{sat}}},\qquad I_{\mathrm{sat}}=\frac{\hbar\omega}{\sigma\tau},\qquad g_0=\frac{\sigma R_{\mathrm p}\tau}{V}\tag{22.12}$$

となる。$g_0$ は光が無いときの利得（小信号利得）、$I_{\mathrm{sat}}$ は飽和強度である。$g$ は第21章の利得係数 $G$（式 (21.6)）と同じ量である（第21章は縮退度 $g_j$ と分けて大文字で書いた）。後で使う $G_0=2g_0L$ は1周の小信号利得で、第21章の $G_0$（係数）とは違う。飽和強度は「原子1個が誘導放出を起こす速さ $\sigma I/(\hbar\omega)$ が、自然放出の速さ $1/\tau$ に等しくなる強度」で、媒質だけで決まる。しきい値より上では利得が損失の値 $g_{\mathrm{th}}$ に固定されるので、式 (22.12) を $g=g_{\mathrm{th}}$ について解いた $I=I_{\mathrm{sat}}(g_0/g_{\mathrm{th}}-1)=I_{\mathrm{sat}}(\xi-1)$ が共振器の中の強度で、これは式 (22.10) の光子数を強度に直したものである。

出力と最適な出力結合

1周の損失を、出力鏡の透過 $\mathcal T$（取り出す光）と、それ以外の損失 $L_{\mathrm i}$（もう一方の鏡の透過・散乱・媒質の吸収。光は取り出せない）に分け、どちらも $1$ より十分小さいとする。このとき $1/\tau_{\mathrm c}=(\mathcal T+L_{\mathrm i})/t_{\mathrm{rt}}$ である（式 (22.1) の $-\ln(1-\eta)\approx\eta$）。光が無いときの1周の強度の利得を $G_0=2g_0L$ と書くと、励起の比は $\xi=G_0/(\mathcal T+L_{\mathrm i})$ になる。出力は共振器の中の光子のうち1周に $\mathcal T$ の割合が抜ける分なので、式 (22.10) から

$$P_{\mathrm{out}}=\frac{\hbar\omega\,n_{\mathrm{ph}}\mathcal T}{t_{\mathrm{rt}}}=\hbar\omega\,(R_{\mathrm p}-R_{\mathrm{th}})\frac{\mathcal T}{\mathcal T+L_{\mathrm i}} =\frac{I_{\mathrm{sat}}A}{2}\,\mathcal T\Bigl(\frac{G_0}{\mathcal T+L_{\mathrm i}}-1\Bigr)\tag{22.13}$$

となる（$A=V/L$ はモードの断面積。最後の形は $\hbar\omega/(K\tau t_{\mathrm{rt}})=\hbar\omega V/(2\sigma\tau L)=I_{\mathrm{sat}}A/2$ を使った）。真ん中の形は、しきい値を超えた励起のうち $\mathcal T/(\mathcal T+L_{\mathrm i})$ の割合が出力になり、残りは内部の損失で失われることを表している。

出力鏡の透過 $\mathcal T$ を大きくすると取り出す割合は増えるが、しきい値が上がって中の光子が減る。$\mathcal T$ について最大にすると、$\mathrm{d}/\mathrm{d}\mathcal T$ の条件 $G_0L_{\mathrm i}/(\mathcal T+L_{\mathrm i})^2=1$ から

$$\mathcal T_{\mathrm{opt}}=\sqrt{G_0L_{\mathrm i}}-L_{\mathrm i},\qquad P_{\mathrm{out,max}}=\frac{I_{\mathrm{sat}}A}{2}\bigl(\sqrt{G_0}-\sqrt{L_{\mathrm i}}\bigr)^2\tag{22.14}$$

を得る。内部の損失が小さいほど最適な透過は小さく、取り出せるパワーは $I_{\mathrm{sat}}AG_0/2$（励起のすべてが光子になる場合）に近づく。

自然放出を残す：しきい値で光子数が跳ぶ

定理 22.2 では $+1$ を落としたので、しきい値で光子数が $0$ から折れ曲がって立ち上がった。$+1$ を残すと定常の条件は$KN(n_{\mathrm{ph}}+1)=n_{\mathrm{ph}}/\tau_{\mathrm c}$ と $R_{\mathrm p}=N/\tau+KNn_{\mathrm{ph}}$ で、1つ目から $N=N_{\mathrm{th}}n_{\mathrm{ph}}/(n_{\mathrm{ph}}+1)$、これを2つ目に入れて $R_{\mathrm{th}}=N_{\mathrm{th}}/\tau$ で割ると

$$\xi=\frac{n_{\mathrm{ph}}}{n_{\mathrm{ph}}+1}\,(1+\beta n_{\mathrm{ph}}),\qquad n_{\mathrm{ph}}=\frac{\xi-1+\sqrt{(\xi-1)^2+4\beta\xi}}{2\beta}\tag{22.15}$$

となる。パラメータは $\beta$ の1つだけである。しきい値の下（$1-\xi\gg\sqrt\beta$）では $n_{\mathrm{ph}}\approx\xi/(1-\xi)$ で、光子は1個の桁にとどまり、そのほとんどは自然放出の光子である。しきい値の上（$\xi-1\gg\sqrt\beta$）では $n_{\mathrm{ph}}\approx(\xi-1)/\beta$ で、定理 22.2 の結果に戻る。ちょうどしきい値では $n_{\mathrm{ph}}=1/\sqrt\beta$ である。しきい値をはさんで光子数は $1/\beta$ の桁だけ跳び、その跳びが起こる励起の幅は $\sqrt\beta$ の桁である（図 22.1）。

$\beta$ が小さい普通のレーザーではこの跳びが鋭く、しきい値ははっきりした点になる。モードの体積を波長の3乗の桁まで小さくした微小共振器のレーザーでは $\beta$ が $0.1$ の桁になり、光子数の曲線から折れ曲がりが消える。そのときは、光が「レーザーの光」になったかどうかを光子数の大きさでは決められず、光子の数の揺らぎ（第32章（第32章）の $g^{(2)}$）で判定する。

励起を入れた直後：スパイク

定理 22.2 の (3) は定常解の近くの小さなずれの話だった。励起を時刻 $0$ に急に入れた直後は、ずれが大きく、式 (22.7) を数値で解くと図 22.2 のようになる。上の準位の数は $N(t)=\xi N_{\mathrm{th}}(1-\mathrm{e}^{-t/\tau})$ で増え、しきい値を時刻 $\tau\ln[\xi/(\xi-1)]$（$\xi=2$ で $208\,\mu\mathrm s$）に超える。その後も光子は自然放出の1個の桁から $10^8$ 個の桁まで増えるのに時間がかかり、その間に反転分布はしきい値を超えて積み上がる。積み上がった反転分布は、光子が大きくなった瞬間に一気に誘導放出で光子に変わり、定常の光子数の16倍の鋭いスパイクを出して、反転分布をしきい値の下まで引き下げる。これを繰り返しながらスパイクは少しずつ低くなり、その間隔は小さな振動の周期 $2\pi/\omega_{\mathrm R}=15\,\mu\mathrm s$ に近づいていく。