出てくるもの1：2次相転移と平均場の臨界指数

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第3部 第10章 §3.10.3　★★★ $f(m)$ の最小点が $T_{\mathrm c}$ で $0$ から2つに分かれ、$m\propto(T_{\mathrm c}-T)^{1/2}$・比熱の跳び・$\chi\propto\lvert T-T_{\mathrm c}\rvert ^{-1}$ が出る

最小点の分かれ方

外場 $h=0$ の Landau 関数 (3.10.2) の最小点を探す。$f'(m)=m(a+bm^2)=0$ の解は $m=0$ と $m^2=-a/b$ で、$T>T_{\mathrm c}$（$a>0$）では $m=0$ だけが最小、$T<T_{\mathrm c}$（$a<0$）では $m=0$ が極大になり

$$m_0=\pm\sqrt{\frac{a_0(T_{\mathrm c}-T)}{b}}\tag{3.10.17}$$

の2点が最小になる（図 3.10.1）。$m_0$ は $T_{\mathrm c}$ で $0$ から連続に立ち上がり、その傾きは無限大である。2つの最小点のどちらが選ばれるかは $f$ からは決まらず、わずかに残る外場や履歴で決まる。これが対称性の自発的な破れの、Landau 理論での姿である。

熱力学量

最小点での値は

$$f_{\min}=f_0(T)+\begin{cases}0 & (T>T_{\mathrm c})\\[2pt] -\dfrac{a^2}{4b}=-\dfrac{a_0^2(T-T_{\mathrm c})^2}{4b} & (T<T_{\mathrm c})\end{cases}\tag{3.10.18}$$

である。$f_{\min}$ そのものと、その $T$ についての1階微分（エントロピー $-\partial f/\partial T$）は $T_{\mathrm c}$ で連続で、2階微分が跳ぶ。比熱は $C=-T\,\partial^2 f/\partial T^2$（第1部第7章・第3部第4章）なので、$T_{\mathrm c}$ を下から近づけたときと上から近づけたときの差は

$$\Delta C=C(T_{\mathrm c}-0)-C(T_{\mathrm c}+0)=\frac{T_{\mathrm c}a_0^2}{2b}\tag{3.10.19}$$

となる。低温側で比熱が大きいのは、温度を上げると秩序が壊れていく分のエントロピーが余分に吸収されるからである。

外場への応答を見る。磁化率 $\chi=\partial m/\partial h|_{h=0}$ は、$f'(m)=h$ を $h$ について1次まで解けば得られる。$T>T_{\mathrm c}$ では $am=h$ から$\chi=1/a$、$T<T_{\mathrm c}$ では $m=m_0+\delta m$ と置いて $f''(m_0)\,\delta m=h$、$f''(m_0)=a+3bm_0^2=2\lvert a\rvert$ から

$$\chi=\begin{cases}\dfrac{1}{a_0(T-T_{\mathrm c})} & (T>T_{\mathrm c})\\[6pt] \dfrac{1}{2a_0(T_{\mathrm c}-T)} & (T<T_{\mathrm c})\end{cases}\tag{3.10.20}$$

を得る。どちらの側でも $\lvert T-T_{\mathrm c}\rvert ^{-1}$ で発散し、係数の比は2である。$T=T_{\mathrm c}$ ちょうどでは $a=0$ で、$f'(m)=h$ は $bm^3=h$、すなわち $m=(h/b)^{1/3}$ になる。Curie–Weiss 模型の係数 (3.10.16) を入れた $\Delta C=\frac32 k_{\mathrm B}$（1スピンあたり）と $\chi=1/( k_{\mathrm B}(T-T_{\mathrm c}))$ は、第7章の式 (3.7.17)・(3.7.16) と同じである（第7章の $zJ$ をこの章の $J$ と読む）。

臨界指数

$T_{\mathrm c}$ の近くで物理量が $\lvert T-T_{\mathrm c}\rvert$ や $h$ の冪で振る舞うとき、その冪を臨界指数と呼ぶ。Landau 理論の値（平均場の値）を表 3.10.1 にまとめる。相関長の指数 $\nu$ と相関関数の指数 $\eta$ は3.10.5節で出す。

指数の値は $a_0$, $b$ によらない。どの物質でも $f$ が $m$ の解析的な偶関数であるかぎり同じ値が出るのは、Landau の展開では $T_{\mathrm c}$ の近くで $m^2$ と $m^4$ の項しか残らず、物質の違いは係数にしか入らないからである。ただし実際の3次元の物質の指数は表の右の列のように平均場の値からずれる。このずれの原因が3.10.5節の揺らぎである。

図 3.10.2 は、Curie–Weiss 模型について厳密な $m_0$ と Landau の値を比べたものである。Landau の展開は $m$ の小さい所の展開なので、$T_{\mathrm c}$ から離れるほど合わなくなる。