出てくるもの（2）：臨界のふるまいと、平均場が厳密になる極限

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第3部 第7章 §3.7.4　★★★ $T_{\mathrm c}$ の近くで $m\propto(T_{\mathrm c}-T)^{1/2}$、$\chi\propto\lvert T-T_{\mathrm c}\rvert ^{-1}$、比熱の跳び $\frac32N k_{\mathrm B}$。到達距離が無限大なら厳密で、1・2次元の厳密解とは合わない

$T_{\mathrm c}$ の近くでの展開

$T_{\mathrm c}$ の近くでは $m$ が小さいので、$F_{\mathrm{MF}}$ を $m$ で展開することができる。二値エントロピーの展開$h_{\mathrm b}\bigl((1+m)/2\bigr)=\ln2-\frac{m^2}{2}-\frac{m^4}{12}-\frac{m^6}{30}-\cdots$ を式 (3.7.10) に入れると

$$\frac{F_{\mathrm{MF}}(m)}{N}=- k_{\mathrm B} T\ln2+\frac12 k_{\mathrm B}(T-T_{\mathrm c})\,m^2+\frac{ k_{\mathrm B} T}{12}m^4-bm+\mathcal{O}(m^6)\tag{3.7.14}$$

となる。$m^2$ の係数が $T_{\mathrm c}$ で符号を変え、$m^4$ の係数は正のまま残る。自由エネルギーを秩序変数 $m$ のべきで展開して相転移を論じるこの形は、第3部第10章の Landau 理論の出発点で、ここではそれが積の分布の自由エネルギーから係数まで決まった形で出てくる。式 (3.7.14) から次の4つが読み取れる。

自発磁化：$b=0$ で $\partial F_{\mathrm{MF}}/\partial m=0$ は $k_{\mathrm B}(T-T_{\mathrm c})m+\frac{ k_{\mathrm B} T}{3}m^3=0$ で、$T<T_{\mathrm c}$ の解は

$$m_*^2=\frac{3(T_{\mathrm c}-T)}{T}\quad\Longrightarrow\quad m_*\approx\sqrt3\,\Bigl(1-\frac{T}{T_{\mathrm c}}\Bigr)^{1/2}.\tag{3.7.15}$$

磁化率：$\chi\coloneqq\partial m/\partial b|_{b=0}$（1格子点あたり）。$T>T_{\mathrm c}$ では $m$ が $b$ に比例し、1次の項だけで $k_{\mathrm B}(T-T_{\mathrm c})m=b$、

$$\chi=\frac{1}{ k_{\mathrm B}(T-T_{\mathrm c})}\qquad(T>T_{\mathrm c}).\tag{3.7.16}$$

これが Curie–Weiss の法則である。相互作用の無いスピンの Curie の法則 $\chi=1/( k_{\mathrm B} T)$ の分母の $T$ が $T-T_{\mathrm c}$ にずれる。$T<T_{\mathrm c}$ では $m_*$ のまわりで展開して $\chi=1/\bigl(2 k_{\mathrm B}(T_{\mathrm c}-T)\bigr)$ になり、どちらの側でも $T_{\mathrm c}$ で発散する。

臨界等温線：$T=T_{\mathrm c}$ では $m^2$ の項が消え、$b=\frac{ k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}}{3}m^3$。

比熱：$b=0$ の内部エネルギーは積の分布で $U=\langle H \rangle _\rho=-\frac{NzJ}{2}m_*^2$。$T>T_{\mathrm c}$ では $m_*=0$ で $U=0$、比熱も $0$。$T<T_{\mathrm c}$ では式 (3.7.15) から $U=-\frac32N k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}(T_{\mathrm c}-T)/T$ で、$T_{\mathrm c}$ の直下で

$$C=\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} T}\Big|_{T\to T_{\mathrm c}-0}=\frac32N k_{\mathrm B} .\tag{3.7.17}$$

比熱は $T_{\mathrm c}$ で発散せず、有限の跳びを持つ。

これらのべき（$m\propto(T_{\mathrm c}-T)^{1/2}$、$\chi\propto\lvert T-T_{\mathrm c}\rvert ^{-1}$、$b\propto m^3$、比熱は跳び）をそれぞれ臨界指数$\beta_{\mathrm{exp}}=1/2$、$\gamma=1$、$\delta=3$、$\alpha=0$ と呼ぶ（$\beta_{\mathrm{exp}}$ は逆温度の $\beta$ と区別して添字を付けた）。平均場の近似の臨界指数は、格子の形や次元、$z$ によらない。式 (3.7.14) の形が $m\to-m$ の対称性と展開できることだけで決まっているためである。

到達距離が無限大の模型では厳密になる

平均場の近似が捨てたのは隣どうしの相関である。相関を捨てても誤差が出ない状況を作るには、1つのスピンが非常に多くの相手と、1つ1つは弱く結合していればよい。その極端な場合として、全部のスピンが全部と等しい強さ $J/N$ で結合した Curie–Weiss 模型

$$H=-\frac{J}{2N}\Bigl(\sum_{i=1}^Ns_i\Bigr)^2-b\sum_is_i\tag{3.7.18}$$

を考える（$i=j$ の項は定数 $J/2$ を足すだけである）。1つのスピンの相手は $N$ 個、結合はそれぞれ $J/N$ なので、式 (3.7.1) の $zJ$ にあたるのは $J$ である。

$H$ は全磁化 $M=\sum_is_i$ だけの関数なので、$Z$ は $M$ の値ごとの配置の数で書ける。上向きが $k$ 個の配置は $\binom Nk$ 個あり、$M=2k-N$ なので

$$Z=\sum_{k=0}^N\binom Nk\exp\Bigl(\frac{\beta J}{2N}(2k-N)^2+\beta b(2k-N)\Bigr).$$

$m=M/N$ とおき、Stirling の公式から出る $\ln\binom Nk=N\,h_{\mathrm b}(k/N)+\mathcal{O}(\ln N)$ を使うと、和の各項は

$$\exp\Bigl[-\beta N\Bigl(-\frac J2m^2-bm- k_{\mathrm B} T\,h_{\mathrm b}\Bigl(\frac{1+m}{2}\Bigr)\Bigr)+\mathcal{O}(\ln N)\Bigr]=\exp\bigl[-\beta F_{\mathrm{MF}}(m)+\mathcal{O}(\ln N)\bigr]$$

で、指数の中は式 (3.7.10)（$zJ\to J$）そのものである。和は $N+1$ 項しかないので、最大の項 $\mathrm{e}^{-\beta\min_mF_{\mathrm{MF}}(m)}$ とその $N+1$ 倍の間にはさまれ、

$$\lim_{N\to\infty}\frac{F}{N}=\min_{-1\le m\le1}\frac{F_{\mathrm{MF}}(m)}{N}\tag{3.7.19}$$

が厳密に成り立つ（$\mathcal{O}(\ln N)/N$ と $\ln(N+1)/N$ が $0$ に行くため）。この模型では、平均場の近似の自由エネルギーが $N\to\infty$ で厳密な値に一致し、3.7.3節と本節の結果（$T_{\mathrm c}$・臨界指数・比熱の跳び）がすべて厳密になる。

数値で確かめる。$\beta J=1.5$（$T=T_{\mathrm c}/1.5$）、$b=0$ では $m_*=0.859$、$\beta F_{\mathrm{MF}}(m_*)/N=-0.808$ である。和を直接計算した厳密な $\beta F/N$ との差は$N=10,\ 100,\ 1000,\ 10^4$ で $-0.102,\ -0.0096,\ -0.00094,\ -0.000094$ で、$N$ を10倍にするたびに10分の1になる。差が負なのは、厳密な $F$ が上界 $F_{\mathrm{MF}}$ より低いというGibbs–Bogoliubov の不等式どおりで、$1/N$ の係数は $-\bigl[\ln2-\frac12\ln\bigl(1-\beta J(1-m_*^2)\bigr)\bigr]=-0.944$ に近づく（$\ln2$ は $\pm m_*$ の2つの谷、対数の項は谷のまわりの Gauss 型の揺らぎの寄与）。

厳密解と比べる

短距離の相互作用では事情が違う。1次元の鎖（$z=2$）について、平均場の近似は $k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}=2J$ で相転移を予言するが、1次元の Ising 模型には $T>0$ で相転移が無い（Ising（1925）、Z. Phys. 31、253）。例題 3.7.4 で見るように、1次元の相関は距離とともに指数関数的に減り、長い距離で向きがそろうことは無い。

2次元の正方格子（$z=4$）では、Onsager が外場の無い場合の自由エネルギーを厳密に計算し（Onsager（1944）、Phys. Rev. 65、117）、相転移の温度は $k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}/J=2/\ln(1+\sqrt2)=2.269$ である。平均場の近似の $4$ はこれの $1.76$ 倍で、相転移の温度を高く見積もっている。自発磁化の厳密な形は $m=\bigl[1-\sinh^{-4}(2J/ k_{\mathrm B} T)\bigr]^{1/8}$（Yang（1952）、Phys. Rev. 85、808）で、$T_{\mathrm c}$ の近くの指数は $1/8$ である（図 3.7.2）。平均場の近似の $1/2$ より立ち上がりがずっと急になっている。

低温で両者が一致するのは、ほとんどのスピンがそろっていて揺らぎが小さく、相関を捨てた誤差も小さいからである。$T_{\mathrm c}$ の近くでは、向きのそろった領域が大きさを持って現れては消え、相関の距離が格子の間隔よりずっと長くなる。この長い距離の相関を捨てた近似が、臨界のふるまいを誤る。さらに、スピンが連続な向きをとる Heisenberg 模型では、短距離の相互作用なら2次元で $T>0$ の自発磁化が無いことが証明されている（Mermin, Wagner（1966）、Phys. Rev. Lett. 17、1133）。平均場の近似はこの場合も有限の $T_{\mathrm c}$ を予言するので、定性的に誤る。揺らぎが平均場の近似をどこまで崩すか（次元が4を超えると臨界指数が平均場の値になること）は、第3部第10章と第5部第11章のくりこみ群で扱う。