平均場の磁性：Curie–Weiss・Kac 極限・Peierls の議論・Mermin–Wagner

近似の数理　第13章 §13.3　★★★ 平均場は到達距離無限大で厳密、短距離では次元によって正しくも誤りにもなる。B 型の近似が「どの極限か」で結論を変える例

到達距離が無限大なら平均場は厳密

Weiss の平均場（ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第5部第3章）は、各スピンが周りのスピンの平均だけを感じるとする近似である。これが厳密になる模型がある。$N$ 個の Ising スピン $\sigma_i=\pm1$ が、互いに等しい強さ $J/N$ で全員と相互作用するCurie–Weiss 模型

$$H_N(\sigma)=-\frac{J}{2N}\Bigl(\sum_{i=1}^N\sigma_i\Bigr)^2,\qquad J>0\tag{13.4}$$

を考える。強さを $1/N$ にしたのは、エネルギーを $N$ に比例させるためで、第6章の平均場スケーリング（相互作用 $\times1/N$）と同じ形である。自由エネルギーを $f_N=-\frac{1}{\beta N}\ln\sum_\sigma\mathrm{e}^{-\beta H_N(\sigma)}$、平均場の自由エネルギーを

$$f_{\mathrm{MF}}=\min_{m\in[-1,1]}\varphi(m),\qquad \varphi(m)=\frac{J}{2}m^2-\frac1\beta\ln\bigl(2\cosh\beta Jm\bigr)\tag{13.5}$$

とする。$\varphi'(m)=0$ は自己無撞着方程式 $m=\tanh(\beta Jm)$ で、$k_{\mathrm B} T<J$ で $m\ne0$ の解を持つ。

証明

$M=\sum_i\sigma_i$ とおく。

上からの押さえ：任意の実数 $m$ について $(M/N-m)^2\ge0$ から $\frac{M^2}{2N}\ge mM-\frac{N m^2}{2}$。これを分配関数に入れると

$$Z_N=\sum_\sigma\mathrm{e}^{\beta JM^2/(2N)}\ \ge\ \mathrm{e}^{-\beta JNm^2/2}\sum_\sigma\mathrm{e}^{\beta JmM}=\mathrm{e}^{-\beta JNm^2/2}\bigl(2\cosh\beta Jm\bigr)^N,$$

すなわち $f_N\le\varphi(m)$。$m$ について最小をとれば $f_N\le f_{\mathrm{MF}}$。

下からの押さえ：$M$ の値は $N+1$ 通りで、$M=N\mu$ となるスピン配置の数は二項係数で、$s(\mu)=-\frac{1+\mu}2\ln\frac{1+\mu}2-\frac{1-\mu}2\ln\frac{1-\mu}2$ を使って $\le\mathrm{e}^{Ns(\mu)}$ と押さえられる。したがって$Z_N\le(N+1)\exp\bigl(N\max_\mu[\beta J\mu^2/2+s(\mu)]\bigr)$、すなわち$f_N\ge\min_\mu\bigl[-\frac J2\mu^2-\frac{s(\mu)}{\beta}\bigr]-\frac{\ln(N+1)}{\beta N}$。最後に右辺の最小値が $f_{\mathrm{MF}}$ に等しいことを示す。1個のスピンの自由エネルギーの Legendre 変換の関係$-\frac1\beta\ln(2\cosh\beta h)=\min_\mu[-h\mu-s(\mu)/\beta]$ を $h=Jm$ で使うと$\min_m\varphi(m)=\min_\mu\min_m\bigl[\frac J2m^2-Jm\mu\bigr]-\frac{s(\mu)}\beta=\min_\mu\bigl[-\frac J2\mu^2-\frac{s(\mu)}\beta\bigr]$（内側の最小は $m=\mu$ でとる）。

上からの押さえは「積状態を試行関数にとる変分原理」で、A 型（射影）の上界の構造をしている。下からの押さえは「状態の数は高々 $N+1$ 通りの $M$ の値に束ねられる」ことを使っていて、$M^2/N$ という全員との相互作用の形が欠かせない。短距離の相互作用では $M$ だけでエネルギーが決まらないので、この証明は通らない。

Kac 極限と極限の順序

現実の磁性体の相互作用は短距離である。Curie–Weiss 模型と短距離の模型を1つの族でつなぐのが Kac の模型で、距離 $r$ の2つのスピンの相互作用を$\gamma^dv(\gamma r)$ とおく（$d$ は次元、$v$ は可積分な関数）。$\gamma$ が小さいほど相互作用は遠くまで届き、1つあたりの強さは弱い。J. L. Lebowitz と O. Penrose は、まず熱力学極限をとってから $\gamma\to0$ とすると、自由エネルギーが平均場の自由エネルギーの凸包（Maxwell の作図をしたもの）に収束することを証明した（Lebowitz, Penrose (1966), J. Math. Phys. 7, 98）。極限の順序が大事で、$\gamma\to0$ を先にとれば Curie–Weiss 模型になり、凸包はとられない。平均場の小さいパラメータは「1つのスピンが感じる相手の数の逆数」$1/z$ であり、これを $0$ に送る極限で平均場は正しい。

短距離の相互作用：Peierls の議論と Mermin–Wagner の定理

到達距離が有限のまま固定すると、平均場の結論は次元によって正しくも誤りにもなる。1次元の Ising 模型は転送行列で厳密に解けて、$T>0$ で自発磁化を持たない。平均場は隣の数 $z=2$ から $k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}=2J$ を予言するので、定性的に誤っている。

2次元の Ising 模型 $H=-J\sum_{\langle ij\rangle}\sigma_i\sigma_j$ では、低温で自発磁化があることを R. Peierls が示した（Peierls (1936), Proc. Cambridge Philos. Soc. 32, 477。議論の不備は R. B. Griffiths と R. L. Dobrushin が独立に補った）。骨格は次のとおりである。境界のスピンを全部 $+1$ に固定し、原点のスピンが $-1$ になる確率を考える。そのとき原点は、$+$ と $-$ の境目の閉じた線（輪郭）に囲まれている。長さ $\ell$ の輪郭を1つ消す（中のスピンを全部反転する）とエネルギーが $2J\ell$ 下がるので、ある決まった輪郭が現れる確率は $\mathrm{e}^{-2\beta J\ell}$ 以下である。原点を囲む長さ $\ell$ の輪郭の数は $\ell\,3^{\ell}$ 以下と数えられるので

$$\Pr(\sigma_0=-1)\ \le\ \sum_{\ell=4,6,8,\dots}\ell\,3^{\ell}\mathrm{e}^{-2\beta J\ell}.\tag{13.7}$$

右辺が $1/2$ より小さければ、原点は $+$ に偏っており、境界を遠ざけてもこの偏りは消えない。これが自発磁化である。

証明は Bogoliubov の不等式で磁化の大きさを上から押さえ、長波長のスピン波の寄与 $\int\mathrm{d}^dk/k^2$ が $d\le2$ で発散することを使う。平均場は2次元の Heisenberg 模型にも $T_{\mathrm c}>0$ を予言するので、この場合は定性的に誤る。連続な対称性では、向きをゆっくり変える励起（スピン波）のエネルギーがいくらでも小さく、低次元ではその揺らぎのために秩序が保たれない。Ising 模型のような離散的な対称性では、向きを変えるのに輪郭のエネルギー $2J\ell$ がかかるので、2次元でも秩序が残る。

3次元では、古典 Heisenberg 模型の長距離秩序が赤外評価の方法で証明されている（Fröhlich, Simon, Spencer (1976), Commun. Math. Phys. 50, 79）。量子の反強磁性体ではスピンの大きさなどに条件を付けて証明があり（Dyson, Lieb, Simon (1978), J. Stat. Phys. 18, 335）、3次元の量子 Heisenberg 強磁性体の自発磁化は、物理では疑われていないにもかかわらず証明されていない。一方、低温の自由エネルギーについては、3次元の量子 Heisenberg 強磁性体で、スピン波（Holstein–Primakoff 変換で得る自由なボソン）の近似が最初の非自明な寄与まで正しいことが、すべての $S\ge\frac12$ で誤差の上下からの評価つきで証明されている（Correggi, Giuliani, Seiringer (2015), Commun. Math. Phys. 339, 279）。これは自由エネルギーの低温の主要項を保証する結果で、自発磁化の存在は含まない。