近似の数理 第13章 §13.4 ★★ 平均場の答え（2量体化・反強磁性）のうち、何が厳密な定理として残り、何が近似の産物かを小さな系で切り分ける
Peierls 不安定性
半分詰まった1次元の鎖（ポリアセチレンの π \pi π ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第2部第8章 ）では、格子が2量体化して隣り合う結合が交互に長短をくり返す。原子核を古典的に止め（第7章の Born–Oppenheimer）、結合の長さの変化に比例してホッピングが変わるとする模型
H ^ = − ∑ i , σ ( t − α ( u i + 1 − u i ) ) ( c ^ i σ † c ^ i + 1 , σ + h . c . ) + K 2 ∑ i ( u i + 1 − u i ) 2 (13.8) \hat H=-\sum_{i,\sigma}\bigl(t-\alpha(u_{i+1}-u_i)\bigr)\bigl(\hat c^\dagger_{i\sigma}\hat c_{i+1,\sigma}+\mathrm{h.c.}\bigr)+\frac K2\sum_i(u_{i+1}-u_i)^2\tag{13.8} H ^ = − i , σ ∑ ( t − α ( u i + 1 − u i ) ) ( c ^ iσ † c ^ i + 1 , σ + h.c. ) + 2 K i ∑ ( u i + 1 − u i ) 2 ( 13.8 )
で、電子の基底エネルギーとばねのエネルギーの和を格子の変位 u i u_i u i 59 , 1309）。平均場的に「周期2を仮定してその振幅を最適化する」計算の仮定の部分が、定理で正当化されたことになる。
2量体化の振幅が無限に長い鎖で 0 0 0 t ± δ t\pm\delta t ± δ
e ( δ ) − e ( 0 ) = − 2 δ 2 π t [ ln 4 t δ − 1 2 ] + o ( δ 2 ) (13.9) e(\delta)-e(0)=-\frac{2\delta^2}{\pi t}\Bigl[\ln\frac{4t}{\delta}-\frac12\Bigr]+o(\delta^2)\tag{13.9} e ( δ ) − e ( 0 ) = − π t 2 δ 2 [ ln δ 4 t − 2 1 ] + o ( δ 2 ) ( 13.9 )
だけ下がる（数値積分で確かめた）。ばねのエネルギーは κ 2 δ 2 \frac\kappa2\delta^2 2 κ δ 2 κ \kappa κ K K K α \alpha α δ → 0 \delta\to0 δ → 0 (13.9) にばねを足して δ \delta δ
δ ∗ = 4 t exp ( − 1 − π t κ 4 ) (13.10) \delta^*=4t\,\exp\Bigl(-1-\frac{\pi t\kappa}{4}\Bigr)\tag{13.10} δ ∗ = 4 t exp ( − 1 − 4 π t κ ) ( 13.10 )
にある。これは λ = 4 / ( π t κ ) \lambda=4/(\pi t\kappa) λ = 4/ ( π t κ ) e − 1 / λ \mathrm{e}^{-1/\lambda} e − 1/ λ 13.5 節の BCS のギャップと同じ非解析性を持つ。κ = 3 / t \kappa=3/t κ = 3/ t (13.10) が δ ∗ = 0.139 t \delta^*=0.139t δ ∗ = 0.139 t 0.144 t 0.144t 0.144 t 13.3 ）。
図 13.3 無限に長い半分詰まりの鎖で、ばねの硬さ κ = 3 / t \kappa=3/t κ = 3/ t κ 2 δ 2 + e ( δ ) − e ( 0 ) \frac\kappa2\delta^2+e(\delta)-e(0) 2 κ δ 2 + e ( δ ) − e ( 0 ) δ = 0 \delta=0 δ = 0 δ ∗ ≈ 0.14 t \delta^*\approx0.14t δ ∗ ≈ 0.14 t
Hubbard 模型と Lieb の定理
電子どうしの相互作用を最も簡単な形で入れたのが Hubbard 模型
H ^ = − t ∑ ⟨ i j ⟩ , σ ( c ^ i σ † c ^ j σ + h . c . ) + U ∑ i n ^ i ↑ n ^ i ↓ (13.11) \hat H=-t\sum_{\langle ij\rangle,\sigma}\bigl(\hat c^\dagger_{i\sigma}\hat c_{j\sigma}+\mathrm{h.c.}\bigr)+U\sum_i\hat n_{i\uparrow}\hat n_{i\downarrow}\tag{13.11} H ^ = − t ⟨ ij ⟩ , σ ∑ ( c ^ iσ † c ^ j σ + h.c. ) + U i ∑ n ^ i ↑ n ^ i ↓ ( 13.11 )
である。格子が2部格子（サイトを A と B に分けて、ホッピングが A と B の間にだけある）で、電子数がサイト数に等しい（半分詰まり）とき、次が成り立つ。
定理 13.6（Lieb（1989） ★★）
連結な2部格子の半分詰まりの Hubbard 模型は、U > 0 U>0 U > 0 z z z S = 1 2 ∣ ∣ A ∣ − ∣ B ∣ ∣ S=\frac12\bigl\lvert\lvert A\rvert -\lvert B\rvert \bigr\rvert S = 2 1 ∣ A ∣ − ∣ B ∣ 62 , 1201）。
A と B のサイト数が等しい格子（正方格子・鎖）では基底状態は一重項 S = 0 S=0 S = 0 U > 0 U>0 U > 0 20 , 1445）。
定理 13.6 は、平均場（Hartree–Fock）の答えと並べると意味がわかる。Hartree–Fock で U U U
例題 13.4 4サイトと6サイトの輪の2量体化 ★★
オリジナル ホッピングを交互に t + δ t+\delta t + δ t − δ t-\delta t − δ N N N N N N
(1) 2サイトを単位胞とみて、1電子の準位が ± ∣ ( t + δ ) + ( t − δ ) e i k ∣ \pm\lvert (t+\delta)+(t-\delta)\mathrm{e}^{\mathrm{i} k}\rvert ± ∣( t + δ ) + ( t − δ ) e i k ∣ k = 2 π j / ( N / 2 ) k=2\pi j/(N/2) k = 2 π j / ( N /2 ) (2) N = 4 N=4 N = 4 N = 6 N=6 N = 6 E ( δ ) E(\delta) E ( δ ) (3) δ \delta δ E ( δ ) − E ( 0 ) E(\delta)-E(0) E ( δ ) − E ( 0 )
解答 (1) 単位胞 n n n c ^ n A ∝ e i k n \hat c_{n\mathrm A}\propto\mathrm{e}^{\mathrm{i} kn} c ^ n A ∝ e i k n k k k 2 × 2 2\times2 2 × 2 ( 0 − ( t 1 + t 2 e − i k ) − ( t 1 + t 2 e i k ) 0 ) \begin{pmatrix}0&-(t_1+t_2\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k})\\-(t_1+t_2\mathrm{e}^{\mathrm{i} k})&0\end{pmatrix} ( 0 − ( t 1 + t 2 e i k ) − ( t 1 + t 2 e − i k ) 0 ) t 1 , 2 = t ± δ t_{1,2}=t\pm\delta t 1 , 2 = t ± δ ± ∣ t 1 + t 2 e i k ∣ \pm\lvert t_1+t_2\mathrm{e}^{\mathrm{i} k}\rvert ± ∣ t 1 + t 2 e i k ∣ e i k ( N / 2 ) = 1 \mathrm{e}^{\mathrm{i} k(N/2)}=1 e i k ( N /2 ) = 1
(2) N = 4 N=4 N = 4 k = 0 , π k=0,\pi k = 0 , π ± 2 t \pm2t ± 2 t ± 2 δ \pm2\delta ± 2 δ E = − 4 t − 4 δ E=-4t-4\delta E = − 4 t − 4 δ N = 6 N=6 N = 6 k = 0 , ± 2 π / 3 k=0,\pm2\pi/3 k = 0 , ± 2 π /3 ∣ t 1 + t 2 e i k ∣ 2 = t 1 2 + t 2 2 + 2 t 1 t 2 cos k \lvert t_1+t_2\mathrm{e}^{\mathrm{i} k}\rvert ^2=t_1^2+t_2^2+2t_1t_2\cos k ∣ t 1 + t 2 e i k ∣ 2 = t 1 2 + t 2 2 + 2 t 1 t 2 cos k k = 0 k=0 k = 0 4 t 2 4t^2 4 t 2 k = ± 2 π / 3 k=\pm2\pi/3 k = ± 2 π /3 t 2 + 3 δ 2 t^2+3\delta^2 t 2 + 3 δ 2 E = − 4 t − 4 t 2 + 3 δ 2 E=-4t-4\sqrt{t^2+3\delta^2} E = − 4 t − 4 t 2 + 3 δ 2
(3) N = 4 N=4 N = 4 E ( δ ) − E ( 0 ) = − 4 δ E(\delta)-E(0)=-4\delta E ( δ ) − E ( 0 ) = − 4 δ δ \delta δ δ = 0 \delta=0 δ = 0 ± 2 δ \pm2\delta ± 2 δ 0 0 0 N = 6 N=6 N = 6 E ( δ ) − E ( 0 ) ≈ − 6 δ 2 / t E(\delta)-E(0)\approx-6\delta^2/t E ( δ ) − E ( 0 ) ≈ − 6 δ 2 / t δ = 0 \delta=0 δ = 0 2 t 2t 2 t ∝ δ 2 / ( ギャップ ) \propto\delta^2/(\text{ギャップ}) ∝ δ 2 / ( ギャップ ) κ 2 δ 2 \frac\kappa2\delta^2 2 κ δ 2 N = 6 N=6 N = 6 κ \kappa κ 0 0 0 (13.9) の δ 2 ln ( 1 / δ ) \delta^2\ln(1/\delta) δ 2 ln ( 1/ δ ) κ \kappa κ
例題 13.5 Hubbard の2量体：厳密解と非制限 Hartree–Fock ★★★
オリジナル 2サイトの Hubbard 模型（ホッピング t t t U > 0 U>0 U > 0
(1) S z = 0 S_z=0 S z = 0 ∣ ↑ ↓ , 0 ⟩ | \uparrow\downarrow,0 \rangle ∣ ↑↓ , 0 ⟩ ∣ 0 , ↑ ↓ ⟩ | 0,\uparrow\downarrow \rangle ∣0 , ↑↓ ⟩ ∣ ↑ , ↓ ⟩ | \uparrow,\downarrow \rangle ∣ ↑ , ↓ ⟩ ∣ ↓ , ↑ ⟩ | \downarrow,\uparrow \rangle ∣ ↓ , ↑ ⟩ H ^ \hat H H ^ E 0 = 1 2 ( U − U 2 + 16 t 2 ) E_0=\frac12\bigl(U-\sqrt{U^2+16t^2}\bigr) E 0 = 2 1 ( U − U 2 + 16 t 2 ) (2) 上向きの電子を軌道 cos θ ∣ 1 ⟩ + sin θ ∣ 2 ⟩ \cos\theta| 1 \rangle +\sin\theta| 2 \rangle cos θ ∣1 ⟩ + sin θ ∣2 ⟩ sin θ ∣ 1 ⟩ + cos θ ∣ 2 ⟩ \sin\theta| 1 \rangle +\cos\theta| 2 \rangle sin θ ∣1 ⟩ + cos θ ∣2 ⟩ E ( s ) = − 2 t s + U 2 s 2 E(s)=-2ts+\frac U2s^2 E ( s ) = − 2 t s + 2 U s 2 s = sin 2 θ s=\sin2\theta s = sin 2 θ θ \theta θ (3) U = 8 t U=8t U = 8 t U ≫ t U\gg t U ≫ t 13.6 との関係を述べよ。
解答 (1) フェルミオンの符号に注意して行列要素を求めると、ホッピングは二重占有の2状態と 1 2 ( ∣ ↑ , ↓ ⟩ − ∣ ↓ , ↑ ⟩ ) \frac1{\sqrt2}(| \uparrow,\downarrow \rangle -| \downarrow,\uparrow \rangle ) 2 1 ( ∣ ↑ , ↓ ⟩ − ∣ ↓ , ↑ ⟩) 1 2 ( ∣ ↑ ↓ , 0 ⟩ + ∣ 0 , ↑ ↓ ⟩ ) \frac1{\sqrt2}(| \uparrow\downarrow,0 \rangle +| 0,\uparrow\downarrow \rangle ) 2 1 ( ∣ ↑↓ , 0 ⟩ + ∣0 , ↑↓ ⟩) U U U 0 0 0 − 2 t -2t − 2 t 2 × 2 2\times2 2 × 2 ( U − 2 t − 2 t 0 ) \begin{pmatrix}U&-2t\\-2t&0\end{pmatrix} ( U − 2 t − 2 t 0 ) E 0 = 1 2 ( U − U 2 + 16 t 2 ) E_0=\frac12(U-\sqrt{U^2+16t^2}) E 0 = 2 1 ( U − U 2 + 16 t 2 ) S = 0 S=0 S = 0 13.6 （∣ A ∣ = ∣ B ∣ = 1 \lvert A\rvert =\lvert B\rvert =1 ∣ A ∣ = ∣ B ∣ = 1
(2) ホッピングの期待値は上向きの電子で − 2 t cos θ sin θ = − t sin 2 θ -2t\cos\theta\sin\theta=-t\sin2\theta − 2 t cos θ sin θ = − t sin 2 θ − 2 t s -2ts − 2 t s U ( ⟨ n ^ 1 ↑ ⟩ ⟨ n ^ 1 ↓ ⟩ + ⟨ n ^ 2 ↑ ⟩ ⟨ n ^ 2 ↓ ⟩ ) = U ( cos 2 θ sin 2 θ + sin 2 θ cos 2 θ ) = U 2 s 2 U(\langle \hat n_{1\uparrow} \rangle \langle \hat n_{1\downarrow} \rangle +\langle \hat n_{2\uparrow} \rangle \langle \hat n_{2\downarrow} \rangle )=U(\cos^2\theta\sin^2\theta+\sin^2\theta\cos^2\theta)=\frac U2s^2 U (⟨ n ^ 1 ↑ ⟩ ⟨ n ^ 1 ↓ ⟩ + ⟨ n ^ 2 ↑ ⟩ ⟨ n ^ 2 ↓ ⟩) = U ( cos 2 θ sin 2 θ + sin 2 θ cos 2 θ ) = 2 U s 2 0 ≤ s ≤ 1 0\le s\le1 0 ≤ s ≤ 1 U ≤ 2 t U\le2t U ≤ 2 t s = 1 s=1 s = 1 θ = π / 4 \theta=\pi/4 θ = π /4 E = − 2 t + U / 2 E=-2t+U/2 E = − 2 t + U /2 U > 2 t U>2t U > 2 t s = 2 t / U s=2t/U s = 2 t / U E = − 2 t 2 / U E=-2t^2/U E = − 2 t 2 / U
(3) U = 8 t U=8t U = 8 t E 0 = − 0.472 t E_0=-0.472t E 0 = − 0.472 t − 0.25 t -0.25t − 0.25 t 0.53 0.53 0.53 U ≫ t U\gg t U ≫ t E 0 ≈ − 4 t 2 / U E_0\approx-4t^2/U E 0 ≈ − 4 t 2 / U J = 4 t 2 / U J=4t^2/U J = 4 t 2 / U − 2 t 2 / U -2t^2/U − 2 t 2 / U 1 / 2 1/2 1/2 13.4 ）。U > 2 t U>2t U > 2 t 13.6 のとおり一重項で、対称性を破っていない。UHF のエネルギーが低い側から厳密解に届かないのは、一重項の 1 2 ( ∣ ↑ , ↓ ⟩ − ∣ ↓ , ↑ ⟩ ) \frac1{\sqrt2}(| \uparrow,\downarrow \rangle -| \downarrow,\uparrow \rangle ) 2 1 ( ∣ ↑ , ↓ ⟩ − ∣ ↓ , ↑ ⟩)
図 13.4 Hubbard の2量体の基底エネルギー。UHF は U = 2 t U=2t U = 2 t U ≫ t U\gg t U ≫ t
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの ( m e / M ) 1 / 4 → 0 (m_{\mathrm e}/M)^{1/4}\to0 ( m e / M ) 1/4 → 0 証明 条件付き（静止した格子・相互作用しない電子・ホッピングが結合の長さの1次・調和なばねの範囲で、半分詰まりの輪の最小が周期2であることは Kennedy–Lieb 1987。格子の量子揺らぎと電子の相互作用を入れた場合は要確認） ｜ 行き先 近似の数理 第7章
近似の裏付け
型 A（射影） ｜ 小さいもの 1つの Slater 行列式の集合（非制限 Hartree–Fock） ｜ 証明 証明済み（上界であること。対称性を破った解は有限の系では近似の産物で、真の基底状態の全スピンは Lieb 1989） ｜ 行き先 近似の数理 第5章
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
