Fermi 液体と BCS：くりこみ群の厳密化から GL へ

近似の数理　第13章 §13.5　★★★ 相互作用する電子の描像が摂動論でどこまで正当化され、超伝導のギャップがなぜ摂動論の外にあるか

Fermi 液体は摂動論で正当化できるか

相互作用する電子の気体が、低いエネルギーでは「準粒子」の気体として振る舞うというのが Landau の Fermi 液体の描像である（ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第5部第1章）。これを数学的に裏付ける道具がくりこみ群で、Fermi 面から遠い励起を順に積分して消し、Fermi 面近くの有効理論を作る。J. Feldman、H. Knörrer、E. Trubowitz は、2次元で、相互作用が短距離で弱く、Fermi 面が強く凸で $\bm{k}\to-\bm{k}$ について対称でない場合に、温度 $0$ でも摂動展開が収束して Fermi 液体になることを証明した（Feldman, Knörrer, Trubowitz (2004), Commun. Math. Phys. 247, 1 からの連作）。

条件「$\bm{k}\to-\bm{k}$ について対称でない」は技術的な仮定でなく、物理の本質に関わる。Fermi 面が反転対称なら、運動量 $\bm{k}$ と $-\bm{k}$ の電子の対（Cooper 対）の散乱がエネルギーの対数 $\ln(\hbar\omega_{\mathrm D}/E)$ を伴って増え、引力があれば低温で必ず超伝導に移る。斥力しかなくても、角運動量 $\ell\ne0$ の対の通り道で実効的な引力が生じて超伝導が起きうる（Kohn, Luttinger (1965), Phys. Rev. Lett. 15, 524）。したがって反転対称な Fermi 面では、Fermi 液体は絶対零度までは安定でなく、摂動展開が収束しないことのほうが正しい物理である。1次元では Fermi 液体そのものが成り立たず、別の固定点（Luttinger 液体）に流れる。

3次元の高密度の電子ガスの相関エネルギーについては、Gell-Mann と Brueckner が摂動級数のうち最も発散の強い項（リング図形、RPA）を足し上げ、$\varepsilon _{\mathrm c}=A\ln r_s+C+\mathcal{O}(r_s)$ を得た（Gell-Mann, Brueckner (1957), Phys. Rev. 106, 364）。この式は、相互作用を平均場のスケーリングで弱めた Fermi 気体（Coulomb 相互作用を含む）では、上界（Christiansen, Hainzl, Nam (2023), Commun. Math. Phys. 401, 1469）と下界（Christiansen, Hainzl, Nam (2024), arXiv:2405.01386、J. Amer. Math. Soc. に掲載予定）の両方が証明されたが、平均場のスケーリングをとらない本来の $r_s\to0$ の極限はこれらの結果の範囲の外にある。

ギャップは摂動論のどの次数にも現れない

BCS 理論（ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第5部第4章）で、Fermi 面から $\hbar\omega_{\mathrm D}$ 以内の電子どうしに一定の引力をはたらかせると、転移温度は

$$k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}=\frac{2\mathrm{e}^{\gamma_{\mathrm E}}}{\pi}\hbar\omega_{\mathrm D}\,\mathrm{e}^{-1/\lambda}=1.134\,\hbar\omega_{\mathrm D}\,\mathrm{e}^{-1/\lambda}\tag{13.12}$$

になる（$\lambda$ は状態密度をかけた無次元の結合定数、$\gamma_{\mathrm E}=0.5772$ は Euler の定数）。関数 $\mathrm{e}^{-1/\lambda}$ は $\lambda\to0^+$ で $0$ に近づき、そのすべての階数の微分も $0$ に近づく。したがって $T_{\mathrm c}$ を $\lambda$ のべき級数に展開すると、すべての係数が $0$ になる。相互作用を $\lambda$ の1次、2次、…と摂動で入れていく限り、超伝導は決して現れない。

この非解析性は 13.4 節の Peierls の2量体化 (13.10) と同じ形である。どちらも、Fermi 面（またはギャップの閉じた点）の近くの状態の数がエネルギーの対数の積分を与え、$1=\lambda\ln(\text{比})$ の形の条件から指数関数が出る。第7章の WKB のトンネル積分 $\mathrm{e}^{-S/\hbar}$ と同じく、B 型の近似の「極限で $0$ になる量」が、べき級数でなく指数関数で $0$ に近づく例である。

BCS 汎関数と GL への極限

BCS 理論の数学的な定式化として、C. Hainzl、E. Hamza、R. Seiringer、J. P. Solovej は、電子の1体密度行列と対の振幅を変数とする BCS の自由エネルギー汎関数を、一般の対の相互作用 $V$ について調べた（Hainzl, Hamza, Seiringer, Solovej (2008), Commun. Math. Phys. 281, 349）。彼らの結果の要点は、超伝導の解（対の振幅が $0$ でない最小点）が存在するかどうかが、線形の作用素

$$K_T+V,\qquad K_T=\frac{\xi(\bm{p})}{\tanh\bigl(\xi(\bm{p})/(2 k_{\mathrm B} T)\bigr)},\quad \xi(\bm{p})=\frac{\bm{p}^2}{2m}-\mu\tag{13.13}$$

が負の固有値を持つかどうかで決まり、$T_{\mathrm c}$ はその最小固有値が $0$ を横切る温度として定まる、ということである。非線形の変分問題の転移点が、線形の固有値問題（第3章の min-max 原理の対象）に帰着している。

$T_{\mathrm c}$ のすぐ下では、R. L. Frank、C. Hainzl、R. Seiringer、J. P. Solovej が BCS 汎関数から Ginzburg–Landau 理論を導いた（Frank, Hainzl, Seiringer, Solovej (2012), J. Amer. Math. Soc. 25, 667）。主張の骨格は次のとおりである（前提の正確な形は原論文）。微視的な長さに対する外場の変化の長さの比を $1/h$ とし、温度を $T=T_{\mathrm c}(1-Dh^2)$（$D>0$）にとって $h\to0$ とすると、BCS の最小の自由エネルギーと正常状態の差は $h$ と GL 汎関数の最小値の積に $o(h)$ を除いて等しく、Cooper 対の波動関数は、重心座標の関数 $\psi$（GL の秩序変数）と相対座標の関数（$T_{\mathrm c}$ で (13.13) の固有値 $0$ を与える固有関数）の積に近い。GL 理論が「$T_{\mathrm c}$ の近くで秩序変数がゆっくり変わる」という2つの小さいパラメータの極限で正しいことが、物理の直観どおりの形で定理になった。