出てくるもの1：London 方程式・Meissner 効果・磁束の量子

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第6章 §5.6.3　★★★ 振幅がそろった内部では電流が位相の勾配とベクトルポテンシャルだけで決まり、磁場は深さ $\lambda$ で減衰し、穴を貫く磁束は $h/\lvert q\rvert$ の整数倍になる

振幅と位相に分ける

$\psi=\lvert \psi\rvert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ と書くと、電流 (5.6.10) は

$$\bm{j}_{\mathrm s}=\frac{q\lvert \psi\rvert ^2}{m^*}\bigl(\hbar\nabla\theta-q\bm{A}\bigr)\tag{5.6.13}$$

になる。$\lvert \psi\rvert$ の勾配は電流に入らず、位相の勾配だけが電流を運ぶ。$\hbar\nabla\theta$ は対の正準運動量、$\hbar\nabla\theta-q\bm{A}$ は運動学的運動量 $m^*\bm{v}_{\mathrm s}$ に当たり、第2部第2章の $\bm{p}=m\bm{v}+q\bm{A}$ と同じ関係である。

磁場が弱く、$\lvert \psi\rvert$ がほぼ一様な値 $\lvert \psi_0\rvert$ を保つ内部を考える。式 (5.6.13) の回転を取ると、$\theta$ が滑らかな所では $\nabla\times\nabla\theta=0$ なので

$$\nabla\times\bm{j}_{\mathrm s}=-\frac{q^2\lvert \psi_0\rvert ^2}{m^*}\bm{B}=-\frac{1}{\mu_0\lambda^2}\bm{B},\qquad \lambda^2=\frac{m^*}{\mu_0q^2\lvert \psi_0\rvert ^2}=\frac{m^*b}{\mu_0q^2\lvert a\rvert }\tag{5.6.14}$$

を得る。これが London 方程式（の第2式）である。式 (5.6.11) の回転を取り、$\nabla\cdot\bm{B}=0$ から $\nabla\times(\nabla\times\bm{B})=-\nabla^2\bm{B}$ を使うと

$$\nabla^2\bm{B}=\frac{1}{\lambda^2}\bm{B}\tag{5.6.15}$$

になる。$\lambda$ を侵入長と呼ぶ。$\lvert \psi_0\rvert ^2\propto T_{\mathrm c}-T$ なので $\lambda\propto(T_{\mathrm c}-T)^{-1/2}$ で、$T_{\mathrm c}$ に近づくほど磁場は深く入る。

Meissner 効果

$x>0$ を超伝導体、$x<0$ を真空とし、表面に平行な磁場 $\bm{B}_{\mathrm a}=B_{\mathrm a}\bm{e}_z$ をかける。式 (5.6.15) の解で $x\to\infty$ で有界なものは

$$B_z(x)=B_{\mathrm a}\mathrm{e}^{-x/\lambda},\qquad j_{\mathrm s,y}(x)=-\frac{1}{\mu_0}\frac{\mathrm{d} B_z}{\mathrm{d} x}=\frac{B_{\mathrm a}}{\mu_0\lambda}\mathrm{e}^{-x/\lambda}\tag{5.6.16}$$

で、磁場は表面から深さ $\lambda$ ほどで指数関数的に消え、表面の厚さ $\lambda$ の層を流れる電流が内部の磁場を打ち消す。内部で $\bm{B}=0$ になることは、冷やす前に磁場があったかどうかによらない。式 (5.6.15) は平衡状態の停留条件で、どういう順序でその状態に来たかを含まないからである。これが Meissner 効果で、抵抗が $0$ であること（5.6.6節の完全導体）だけからは出てこない性質である。

厚さ $d$ の板（$-d/2<x<d/2$）の両面に平行な磁場をかけると、両面で $B_z=B_{\mathrm a}$ を満たす解は

$$B_z(x)=B_{\mathrm a}\frac{\cosh(x/\lambda)}{\cosh(d/2\lambda)}\tag{5.6.17}$$

である（図 5.6.2）。$d\gg\lambda$ なら中心の磁場は $2B_{\mathrm a}\mathrm{e}^{-d/2\lambda}$ ほどに小さくなり、$d\ll\lambda$ なら磁場はほとんど素通りする。

磁束の量子

超伝導体でできた輪（または穴のあいた塊）を考える。$\psi$ は1価の関数なので、輪を1周したときの位相の変化は $2\pi$ の整数倍でなければならない。輪の太さが $\lambda$ より十分大きいと、輪の中ほどを通る閉じた道 $C$ の上では電流が $0$ で、式 (5.6.13) から $\hbar\nabla\theta=q\bm{A}$ である。これを $C$ に沿って1周積分すると

$$2\pi\hbar n=q\oint_C\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=q\Phi\qquad\Longrightarrow\qquad\Phi=n\frac hq,\qquad n\in\mathbb{Z}\tag{5.6.18}$$

で、輪を貫く磁束 $\Phi$ は $h/\lvert q\rvert$ の整数倍に限られる。電流が流れている道で積分すると、式 (5.6.13) から

$$\Phi+\frac{m^*}{q^2\lvert \psi\rvert ^2}\oint_C\bm{j}_{\mathrm s}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=n\frac hq\tag{5.6.19}$$

となり、左辺（fluxoid と呼ぶ）が量子化される。第4部第6章の常伝導の輪では、電子1個のエネルギー準位が磁束について周期 $h/e$ で変わった。超伝導の輪では、1価性の要求が巨視的な数の対がそろった位相に課されるので、磁束そのものが量子化される。

B. S. Deaver Jr. と W. M. Fairbank、R. Doll と M. Näbauer は、1961年に独立に、細い超伝導の円筒に閉じ込められた磁束が $h/(2e)$ を単位に飛び飛びの値を取ることを測った（B. S. Deaver Jr. and W. M. Fairbank (1961), Phys. Rev. Lett. 7, 43；R. Doll and M. Näbauer (1961), Phys. Rev. Lett. 7, 51）。単位が $h/e$ でなく $h/(2e)$ であることから $\lvert q\rvert =2e$、すなわち秩序変数の電荷は電子2個分であることが分かる。この章では以後

$$\Phi_0=\frac{h}{\lvert q\rvert }=\frac{h}{2e}=2.067833848\times10^{-15}\,\mathrm{Wb}\tag{5.6.20}$$

と書く（2019年からの SI では $h$ と $e$ が定義値なので、$\Phi_0$ も厳密な値である）。