当てる道具：複素場の Euler–Lagrange 方程式と Noether の電流

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第6章 §5.6.2　★★★ $\psi^*$ と $\bm{A}$ について変分すると GL 方程式と Ampère の法則が出て、位相の対称性の Noether の電流が超伝導電流になる

$\psi^*$ について変分する

複素場 $\psi$ は実部と虚部の2つの実の場からなる。第2部第5章では、実部と虚部について変分する代わりに $\psi$ と $\psi^*$ を独立な場とみなして変分してよいことを使った（2つの組み合わせは可逆な線形変換で結ばれるので、片方の組で停留なら他方の組でも停留である）。式 (5.6.1) を $\psi^*$ について変分し、勾配の項を部分積分すると

$$\delta F=\int\mathrm{d}^3r\,\delta\psi^*\Bigl[\frac{1}{2m^*}(-\mathrm{i}\hbar\nabla-q\bm{A})^2\psi+a\psi+b\lvert \psi\rvert ^2\psi\Bigr] +\oint\mathrm{d}\bm{S}\cdot\frac{-\mathrm{i}\hbar}{2m^*}\,\delta\psi^*\,(-\mathrm{i}\hbar\nabla-q\bm{A})\psi+(\text{複素共役})\tag{5.6.7}$$

を得る。体積積分の中が $0$ であることが GL 方程式

$$\frac{1}{2m^*}(-\mathrm{i}\hbar\nabla-q\bm{A})^2\psi+a\psi+b\lvert \psi\rvert ^2\psi=0\tag{5.6.8}$$

である。左の2項は、電荷 $q$・質量 $m^*$ の粒子の磁場中の Schrödinger 方程式の左辺で、$-a=\lvert a\rvert$ がエネルギー固有値の位置にある。第3項が非線形で、$\lvert \psi\rvert$ が大きくなるのを押さえる。

表面の項は、超伝導体の表面で $\psi$ の値を固定しない限り残る。第1部第4章の「端を固定しない場合」（第1部第4章）と同じく、任意の $\delta\psi^*$ に対して停留であるためには、表面の法線 $\bm{n}$ について

$$\bm{n}\cdot(-\mathrm{i}\hbar\nabla-q\bm{A})\psi=0\qquad(\text{真空や絶縁体と接する表面})\tag{5.6.9}$$

が要る。これは方程式と別に課した条件ではなく、変分から自然に出た境界条件である。

$\bm{A}$ について変分する

$\bm{A}$ を $\bm{A}+\delta\bm{A}$ にずらすと、勾配の項の1次の変化は $-\delta\bm{A}\cdot\bm{j}_{\mathrm s}$、磁場の項の1次の変化は部分積分して $\delta\bm{A}\cdot(\nabla\times\bm{B})/\mu_0$ になる。ここで

$$\bm{j}_{\mathrm s}=\frac{q}{2m^*}\bigl[\psi^*(-\mathrm{i}\hbar\nabla-q\bm{A})\psi+\text{c.c.}\bigr] =\frac{q\hbar}{2m^*\mathrm{i}}(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*)-\frac{q^2}{m^*}\lvert \psi\rvert ^2\bm{A}\tag{5.6.10}$$

である（c.c. は前の項の複素共役）。停留条件は

$$\nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{j}_{\mathrm s}\tag{5.6.11}$$

で、静的な場の Ampère の法則そのものになる。したがって $\bm{j}_{\mathrm s}$ は超伝導体を流れる電流密度と読むことができる。これは第2部第6章で、電磁場の Lagrangian 密度の $-J^\mu A_\mu$ の項を $A_\mu$ で変分すると電流が源として現れたのと同じ構造で、ここでは電流が外から与えた源でなく $\psi$ から作られる。$\bm{j}_{\mathrm s}$ は第4部第6章の確率の流れに電荷 $q$ を掛けたものと同じ式で、ゲージ変換で変わらない。

位相の対称性と Noether の電流

同じ電流は Noether の定理（第2部第7章）からも出る。$F$ は全体の位相の回転 $\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\psi$（$\bm{A}$ は変えない）で不変である。第2部第7章では、時空の座標を持つ場について、連続的な対称性から $\partial_\mu j^\mu=0$ を導いた。ここでは座標は空間の3つだけなので、保存則は $\nabla\cdot\bm{j}=0$ の形になる。実際、GL 方程式 (5.6.8) に左から $\psi^*$ を掛けたものから、その複素共役を引くと、$a\lvert \psi\rvert ^2$ と $b\lvert \psi\rvert ^4$ は実数なので消え、

$$\psi^*(-\mathrm{i}\hbar\nabla-q\bm{A})^2\psi-\text{c.c.}=-\mathrm{i}\hbar\nabla\cdot\bigl[\psi^*(-\mathrm{i}\hbar\nabla-q\bm{A})\psi+\text{c.c.}\bigr] \quad\Longrightarrow\quad\nabla\cdot\bm{j}_{\mathrm s}=0\tag{5.6.12}$$

を得る。左の恒等式は、勾配の項が位相の回転で変わらないことの書き直しである。

一方、式 (5.6.11) の発散を取ると、$\nabla\cdot(\nabla\times\bm{B})=0$ から $\nabla\cdot\bm{j}_{\mathrm s}=0$ が恒等的に従う。$\bm{A}$ についての方程式が、それだけで電流の保存を含んでいる。これは第2部第8章（第2部第8章）で、ゲージ不変性があると運動方程式どうしの間に恒等式（Noether の第2定理）が成り立ち、電荷の保存が Maxwell 方程式から従ったのと同じ事情である。位相の大域的な対称性から出る保存則と、局所的なゲージ不変性から出る恒等式が、同じ $\nabla\cdot\bm{j}_{\mathrm s}=0$ を与えている。