この章で選ぶもの：複素の秩序変数とゲージ場の汎関数

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第6章 §5.6.1　★★★ 位相の対称性を持つ Landau 関数に、ゲージ不変な勾配の項と磁場のエネルギーを足した汎関数を選ぶ

超伝導体を冷やして転移温度 $T_{\mathrm c}$ を切ると、電気抵抗が消えるだけでなく、内部から磁場が押し出される。W. Meissner と R. Ochsenfeld（1933）は、磁場をかけたまま冷やした試料でも、転移の瞬間に内部の磁束が外へ出ることを測った（W. Meissner and R. Ochsenfeld (1933), Naturwissenschaften 21, 787）。抵抗が $0$ の導体（完全導体）なら内部の磁場は冷やす前の値のまま凍りつくはずなので、磁場を追い出すという性質は「抵抗が無い」ことからは出てこない。この章では、この現象を第3部第10章の Landau 理論の延長として、自由エネルギーの汎関数を1つ選び、その停留点を調べることで導く。

選ぶのは、複素数の秩序変数 $\psi(\bm{r})$ とベクトルポテンシャル $\bm{A}(\bm{r})$ の汎関数

$$F[\psi,\bm{A}]=\int\mathrm{d}^3r\,\Bigl[\frac{1}{2m^*}\lvert (-\mathrm{i}\hbar\nabla-q\bm{A})\psi\rvert ^2+a\lvert \psi\rvert ^2+\frac b2\lvert \psi\rvert ^4+\frac{\lvert \nabla\times\bm{A}\rvert ^2}{2\mu_0}\Bigr]\tag{5.6.1}$$

である（V. L. Ginzburg and L. D. Landau (1950), Zh. Eksp. Teor. Fiz. 20, 1064）。第1項は第4部第6章の荷電粒子の運動エネルギー$(\hat{\bm{p}}-q\bm{A})^2/(2m)$ と同じ形で、第2・3項は第3部第10章の Landau 関数、第4項は磁場のエネルギーである。この汎関数は2つの対称性を持つ。全体の位相を一斉に回す $\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\psi$ と、場所ごとに位相を回してベクトルポテンシャルをずらすゲージ変換である。

当てる道具は、複素場の Euler–Lagrange 方程式（第2部第5章）、端を固定しない変分の自然境界条件（第1部第4章）、場の Noether の定理（第2部第7章）、ゲージ不変性の扱い（第2部第8章）である。出てくるものは3つある。第一に、秩序変数の振幅がそろった内部で London 方程式が成り立ち、磁場が深さ $\lambda$ までしか入らないこと（Meissner 効果）と、穴を貫く磁束が $h/(2e)$ の整数倍に限られること（5.6.3節）。第二に、位相を消すようにゲージを選ぶと、ベクトルポテンシャルに Proca 型の質量の項が現れること（Anderson–Higgs 機構。5.6.4節）。第三に、振幅の変わる長さ $\xi$ と磁場の侵入長 $\lambda$ の比 $\kappa=\lambda/\xi$ が $1/\sqrt2$ より大きいか小さいかで、磁場を受け入れる仕方が2種類に分かれること（5.6.5節）。最後に、授業で習う London 兄弟の方程式と並べ（5.6.6節）、まとめと総合問題で終える。

記号の約束を書いておく。この章は第5部の章だが、扱うのは非相対論的な物質の中の場なので、単位は SI のまま書く（$\hbar=c=1$ にしない）。$\psi$ は量子力学の演算子でなく古典的な場（秩序変数）なので帽子は付けない。$q$ は秩序変数が持つ電荷で、超伝導体では電子2個の対（Cooper 対）の電荷 $q=-2e$ になる。$m^*$ はその質量、$a,b$ は Landau の展開係数（$a=a_0(T-T_{\mathrm c})$, $b>0$）である。$\lambda$ は磁場の侵入長、$\xi$ はコヒーレンス長、$\kappa=\lambda/\xi$ は Ginzburg–Landau パラメータで、第3部第10章の勾配の係数 $\kappa$ とは別のものである。$\Lambda$ はゲージ関数、$\bm{B}_{\mathrm a}$ は外からかけた磁場、$\Phi_0=h/\lvert q\rvert$ は磁束の量子である。

秩序変数を複素数にする

第3部第10章の強磁性体では、秩序変数は実数の磁化 $m$ で、対称性は $m\to-m$ だった。超伝導の秩序変数は、凝縮した Cooper 対全体を1つの波動関数とみなしたもので、$\lvert \psi\rvert ^2$ が対の密度に比例し、$\psi$ の位相 $\theta$ が対の運動を表す。Cooper 対がなぜ作られるか（電子間の引力と BCS の平均場）は固体の巻で扱い（ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第5部第4章）、この章では $\psi$ の存在と次の性質だけを使う。

物理的に意味のある量は $\lvert \psi\rvert$ と位相の差・位相の勾配で、位相そのものの値は観測にかからない。量子力学で波動関数全体に $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$ を掛けても状態が変わらないのと同じで、自由エネルギーは全体の位相の回転 $\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\psi$ で変わらない。この対称性は $m\to-m$（2つの元からなる群）と違って連続的な回転（$U(1)$）である。Landau の議論をそのまま当てはめると、$\psi$ が小さい $T_{\mathrm c}$ の近くで、一様な状態の自由エネルギー密度は $\lvert \psi\rvert ^2$ の冪で展開でき

$$f(\psi)=f_{\mathrm n}+a\lvert \psi\rvert ^2+\frac b2\lvert \psi\rvert ^4,\qquad a=a_0(T-T_{\mathrm c}),\quad a_0>0,\quad b>0\tag{5.6.2}$$

となる。$f_{\mathrm n}$ は常伝導状態の自由エネルギー密度である。係数の書き方が第3部第10章の $\frac a2m^2+\frac{b'}4m^4$ と違うのは複素数の慣例に合わせたためで、$\psi=m/\sqrt2$ と置けば $a\lvert \psi\rvert ^2=\frac a2m^2$、$\frac b2\lvert \psi\rvert ^4=\frac{b}{8}m^4$ となり、第3部第10章の $b'$ はここの $b/2$ に当たる。

$T<T_{\mathrm c}$ で $a<0$ になると、最小点は $\lvert \psi\rvert ^2=-a/b$ の円周上に並ぶ（図 5.6.1）。

$$\lvert \psi_0\rvert ^2=-\frac ab=\frac{a_0(T_{\mathrm c}-T)}{b},\qquad f_{\mathrm s}-f_{\mathrm n}=-\frac{a^2}{2b}.\tag{5.6.3}$$

円周上のどの点も同じ自由エネルギーを持ち、系はそのうち1つの位相を選ぶ。強磁性体では2つの最小点のどちらかを選んだのに対し、ここでは連続的に並んだ最小点の1つを選ぶ。この違いは5.6.4節で、位相の揺らぎがどう振る舞うかの違いとして現れる。

勾配の項はゲージ不変でなければならない

$\psi$ が場所によって変わるとき、第3部第10章と同じく勾配の2乗の項を足す。ただし $\psi$ は電荷 $q$ を持つ粒子の波動関数なので、勾配の項は $\lvert \nabla\psi\rvert ^2$ ではなく、第4部第6章の最小結合（第4部第6章）の形

$$\frac{1}{2m^*}\lvert (-\mathrm{i}\hbar\nabla-q\bm{A})\psi\rvert ^2\tag{5.6.4}$$

を取る。理由はゲージ不変性にある。ゲージ変換 $\bm{A}\to\bm{A}+\nabla\Lambda$ をすると、$\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda/\hbar}\psi$ と同時に変えれば$(-\mathrm{i}\hbar\nabla-q\bm{A})\psi$ は全体に位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda/\hbar}$ が掛かるだけになり（第2部第2章・第4部第6章で確かめた関係）、絶対値の2乗は変わらない。$\lvert \nabla\psi\rvert ^2$ のままでは、場所ごとに位相を回す変換で値が変わってしまう。場所ごとに位相を回しても物理が変わらないことを要求すると、勾配は必ずベクトルポテンシャルと組になって入る。これは第5部第5章のゲージ原理（第5部第5章）を、時間を含まない静的な場に当てはめたものである。

これに磁場のエネルギー $\lvert \bm{B}\rvert ^2/(2\mu_0)$, $\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$ を足して、式 (5.6.1) の汎関数（$f_{\mathrm n}$ の分を除いたもの）を得る。外から磁場 $\bm{B}_{\mathrm a}$ をかけるとき（外部のコイルの電流を一定に保つとき）は、そのコイルが外へする仕事の分を引いた

$$G[\psi,\bm{A}]=F[\psi,\bm{A}]-\frac{1}{\mu_0}\int\mathrm{d}^3r\,\bm{B}\cdot\bm{B}_{\mathrm a}\tag{5.6.5}$$

が最小になる量で、これは第3部第4章の Legendre 変換（第3部第4章）で $F$ から Gibbs 型のポテンシャルへ移ったものである。

作用との対応と、熱力学的な臨界磁場

この汎関数は、第2部第5章の場の Lagrangian 密度（第2部第5章）の静的な場合と同じ構造を持つ。時間変化しない場では Lagrangian はエネルギーの符号を変えたものになり、$-L=\int[\text{勾配の項}+\text{ポテンシャルの項}]$ の停留点を探すことになる。第3部第10章と同じく、熱平衡でどの $\psi(\bm{r})$, $\bm{A}(\bm{r})$ が実現するかの重みは $\mathrm{e}^{-\beta F}$ に比例し、最も重みの大きい配置は $F$ の停留点である。この章では停留点だけを調べ、まわりの揺らぎは5.6.5節の終わりで大きさを見積もるにとどめる。

一様な状態で磁場をかけたときを比べる。超伝導状態が磁場を完全に追い出すなら $\bm{B}=0$ で $G_{\mathrm s}/V=f_{\mathrm n}-a^2/(2b)$ である。常伝導状態（$\psi=0$）は磁場をそのまま通すので $\bm{B}=\bm{B}_{\mathrm a}$ で $G_{\mathrm n}/V=f_{\mathrm n}+B_{\mathrm a}^2/(2\mu_0)-B_{\mathrm a}^2/\mu_0=f_{\mathrm n}-B_{\mathrm a}^2/(2\mu_0)$ になる。2つが等しくなる外場を熱力学的な臨界磁場 $B_{\mathrm c}$ と呼ぶ。

$$\frac{B_{\mathrm c}^2}{2\mu_0}=\frac{a^2}{2b},\qquad B_{\mathrm c}=\lvert a\rvert \sqrt{\frac{\mu_0}{b}}=a_0(T_{\mathrm c}-T)\sqrt{\frac{\mu_0}{b}}.\tag{5.6.6}$$

$B_{\mathrm a}>B_{\mathrm c}$ では磁場を追い出す損が凝縮で得をする分を上回り、超伝導は壊れる。凝縮で得をする自由エネルギー密度 $a^2/(2b)$ は、磁場のエネルギー密度という測定できる量で表すことができる。