出てくるもの2：ゲージ場が質量を持つ（Anderson–Higgs 機構）

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第6章 §5.6.4　★★★ 位相を消すゲージを選ぶと、ベクトルポテンシャルに Proca 型の質量の項 $\bm{A}^2/(2\mu_0\lambda^2)$ が残り、侵入長が光子の質量の逆数になる

位相をゲージで吸収する

勾配の項を振幅と位相に分けると、

$$\frac{1}{2m^*}\lvert (-\mathrm{i}\hbar\nabla-q\bm{A})\psi\rvert ^2=\frac{\hbar^2}{2m^*}\bigl(\nabla\lvert \psi\rvert \bigr)^2+\frac{\lvert \psi\rvert ^2}{2m^*}\bigl(\hbar\nabla\theta-q\bm{A}\bigr)^2\tag{5.6.21}$$

となる。位相 $\theta$ は $\bm{A}$ と $\hbar\nabla\theta-q\bm{A}$ という組み合わせでしか現れない。そこでゲージ関数を $\Lambda=-\hbar\theta/q$ に選ぶと、$\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda/\hbar}\psi=\lvert \psi\rvert$ と実数になり、ベクトルポテンシャルは

$$\bm{A}'=\bm{A}-\frac\hbar q\nabla\theta\tag{5.6.22}$$

に変わる。磁場 $\nabla\times\bm{A}'=\nabla\times\bm{A}$ は変わらない。このゲージ（ユニタリゲージと呼ぶ）で汎関数は

$$F=\int\mathrm{d}^3r\,\Bigl[\frac{\hbar^2}{2m^*}\bigl(\nabla\lvert \psi\rvert \bigr)^2+a\lvert \psi\rvert ^2+\frac b2\lvert \psi\rvert ^4+\frac{q^2\lvert \psi\rvert ^2}{2m^*}\lvert \bm{A}'\rvert ^2+\frac{\lvert \nabla\times\bm{A}'\rvert ^2}{2\mu_0}\Bigr]\tag{5.6.23}$$

になり、位相 $\theta$ は汎関数から消える。$\lvert \psi\rvert$ を一様な値 $\lvert \psi_0\rvert$ に置くと、$\bm{A}'$ についての項は

$$\frac{\lvert \nabla\times\bm{A}'\rvert ^2}{2\mu_0}+\frac{1}{2\mu_0\lambda^2}\lvert \bm{A}'\rvert ^2,\qquad\frac{1}{\lambda^2}=\frac{\mu_0q^2\lvert \psi_0\rvert ^2}{m^*}\tag{5.6.24}$$

で、$\lambda$ は式 (5.6.14) と同じものである。

Proca 場との比較

第2部第8章の総合問題では、ゲージ不変性を持たない Proca 場の Lagrangian 密度 $-\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{\kappa_{\mathrm P}^2}{2\mu_0}A_\mu A^\mu$ を扱った（そこで $\kappa$ と書いた量を、この章では $\kappa_{\mathrm P}$ と書く）。静的で $A^0=0$ のとき、$-\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=-\frac{\lvert \bm{B}\rvert ^2}{2\mu_0}$、$A_\mu A^\mu=-\lvert \bm{A}\rvert ^2$ なので、符号を変えたエネルギー密度は $\frac{\lvert \bm{B}\rvert ^2}{2\mu_0}+\frac{\kappa_{\mathrm P}^2}{2\mu_0}\lvert \bm{A}\rvert ^2$ になる。式 (5.6.24) はこれと $\kappa_{\mathrm P}=1/\lambda$ で一致する。第2部第6章の総合問題（第2部第6章）では、この質量の項を持つ場の粒子の質量が $m=\hbar\kappa_{\mathrm P}/c$ であることを分散関係から出した。したがって

$$m_\gamma=\frac{\hbar}{\lambda c},\qquad m_\gamma c^2=\frac{\hbar c}{\lambda}\tag{5.6.25}$$

が超伝導体の中の光子の質量に当たる。Proca 場の静電ポテンシャルが Coulomb 型でなく $\mathrm{e}^{-\kappa_{\mathrm P}r}/r$ に減衰したのと同じく、超伝導体の中の磁場は $\mathrm{e}^{-x/\lambda}$ で減衰する。Meissner 効果は、ゲージ場が質量を持つことの静的な現れである。

第2部第6章と第8章では、ゲージ不変性があると $A_\mu A^\mu$ の項は書けず、光子の質量は $0$ になると結論した。ここでは汎関数 (5.6.1) 自体はゲージ不変なままで、質量の項が現れた。矛盾しないのは、質量の項 $\lvert \bm{A}'\rvert ^2$ が、ゲージ不変な組み合わせ $\bm{A}'=\bm{A}-(\hbar/q)\nabla\theta$ の2乗だからである。もとの変数で書けば $\frac{q^2\lvert \psi_0\rvert ^2}{2m^*}(\bm{A}-\frac\hbar q\nabla\theta)^2$ で、ゲージ変換で $\bm{A}$ と $\theta$ が同時にずれて打ち消し合う。秩序変数が $0$ でない値 $\lvert \psi_0\rvert$ を取ったこと（対称性の自発的な破れ）が、この組み合わせを作る位相 $\theta$ を用意した。

自由度の数え方と Abelian Higgs 模型

自由度を数えると、何が起きたかがはっきりする。ゲージ場が無い場合、全体の位相の対称性が自発的に破れると、最小点の円周に沿った位相の揺らぎはエネルギーを持たずに長い距離へ伸びる（Goldstone の定理が言う質量 $0$ のモード）。ゲージ場がある場合は、その位相がゲージ変換 (5.6.22) で $\bm{A}'$ の中へ移り、独立な場として残らない。相対論的な場で数えると、破れる前は複素スカラー場の2つと質量 $0$ のゲージ場の偏光2つで4つ、破れた後は振幅の揺らぎ1つと質量を持つベクトル場の偏光3つで4つになる。位相の自由度が、ゲージ場の縦の偏光になった。第2部第8章の総合問題で、Proca 場では自由度が3つで、$\kappa_{\mathrm P}\to0$ で2つへ不連続に減ることを見た。その3つ目の自由度の出どころがここで分かる。

この機構を Lorentz 不変な形で書いたものが Abelian Higgs 模型

$$\mathcal L=-\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+K(D_\mu\phi)^*(D^\mu\phi)-a\lvert \phi\rvert ^2-\frac b2\lvert \phi\rvert ^4,\qquad D_\mu=\partial_\mu+\frac{\mathrm{i} q}{\hbar}A_\mu\tag{5.6.26}$$

である（$K$ は場の規格化の定数、計量は $(+,-,-,-)$）。静的で $A^0=0$ のとき、$D_j=\partial_j-\frac{\mathrm{i} q}{\hbar}A^j$ から $K\lvert D_j\phi\rvert ^2=\frac{K}{\hbar^2}\lvert (-\mathrm{i}\hbar\partial_j-qA^j)\phi\rvert ^2$ となり、$K=\hbar^2/(2m^*)$ と置けば $-\mathcal L$ は GL の汎関数の密度と一致する。$\phi=\lvert \phi_0\rvert$ のユニタリゲージでは $K\frac{q^2}{\hbar^2}\lvert \phi_0\rvert ^2A_\mu A^\mu$ という項が残り、これが $\frac{1}{2\mu_0\lambda^2}A_\mu A^\mu$ に等しいことから $1/\lambda^2=2\mu_0Kq^2\lvert \phi_0\rvert ^2/\hbar^2$ となって、$K=\hbar^2/(2m^*)$ で式 (5.6.24) に戻る。超伝導体は Lorentz 不変ではないので式 (5.6.26) の時間の部分はそのまま当てはまらないが、静的な磁場の部分は同じである。

振幅の揺らぎも調べておく。$\lvert \psi\rvert =\lvert \psi_0\rvert +\eta$ と置いて式 (5.6.23) を $\eta$ の2次まで展開すると、ポテンシャルの2階微分は $2a+6b\lvert \psi_0\rvert ^2=4\lvert a\rvert$ で、$\frac{\hbar^2}{2m^*}(\nabla\eta)^2+2\lvert a\rvert \eta^2$ を得る。その停留条件 $\frac{\hbar^2}{2m^*}\nabla^2\eta=2\lvert a\rvert \eta$ から、振幅の乱れは長さ $\xi/\sqrt2$ で減衰する。ここで

$$\xi^2=\frac{\hbar^2}{2m^*\lvert a\rvert }\tag{5.6.27}$$

は5.6.5節で主役になるコヒーレンス長である。Lorentz 不変な模型で読めば、ベクトル場の質量は $\hbar/(\lambda c)$、振幅の場（Higgs 場）の質量は $\sqrt2\hbar/(\xi c)$ で、その比は $\sqrt2\lambda/\xi=\sqrt2\kappa$ になる。

P. W. Anderson（1963）は、超伝導体の中で電磁場が質量を持つことを、相対論的な場の理論で質量 $0$ のゲージ場と Goldstone のモードが組んで質量を持つ場になる可能性と結びつけた（P. W. Anderson (1963), Phys. Rev. 130, 439）。翌年、F. Englert と R. Brout、P. W. Higgs、G. S. Guralnik と C. R. Hagen と T. W. B. Kibble が、相対論的な模型でこれを示した（F. Englert and R. Brout (1964), Phys. Rev. Lett. 13, 321；P. W. Higgs (1964), Phys. Rev. Lett. 13, 508；G. S. Guralnik, C. R. Hagen and T. W. B. Kibble (1964), Phys. Rev. Lett. 13, 585）。素粒子の標準模型で弱い相互作用のゲージ場が質量を持つのも、非可換なゲージ群で同じことが起きたものである。