出てくるもの3：コヒーレンス長と2種類の超伝導体

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第6章 §5.6.5　★★★ 振幅の変わる長さ $\xi$ と磁場の侵入長 $\lambda$ の比 $\kappa$ で界面エネルギーの符号が変わり、$\kappa>1/\sqrt2$ では磁束量子の渦として磁場を受け入れる

振幅の変わる長さ

磁場が無い1次元の問題で、$x=0$ で $\psi=0$ に押さえられた秩序が $x>0$ で回復する様子を求める。$\bm{A}=0$ で $\psi$ を実数に取ると、GL 方程式 (5.6.8) は$-\frac{\hbar^2}{2m^*}\psi''-\lvert a\rvert \psi+b\psi^3=0$ で、$\lvert a\rvert$ で割ると

$$-\xi^2\psi''-\psi+\frac{\psi^3}{\lvert \psi_0\rvert ^2}=0.\tag{5.6.28}$$

第3部第10章の磁壁と同じく、これは $x$ を時間とみなした力学の運動方程式で、$x$ を含まないので「エネルギー」$\xi^2\psi'^2-\psi^2+\psi^4/(2\lvert \psi_0\rvert ^2)$ が保存する。$x\to\infty$ で $\psi\to\lvert \psi_0\rvert$, $\psi'\to0$ から保存量は $-\lvert \psi_0\rvert ^2/2$ で、積分すると

$$\psi(x)=\lvert \psi_0\rvert \tanh\frac{x}{\sqrt2\,\xi}\tag{5.6.29}$$

を得る。$\xi$ は秩序の振幅が変わる長さで、コヒーレンス長と呼ぶ。式 (5.6.27) から $\xi\propto(T_{\mathrm c}-T)^{-1/2}$ で、$\lambda$ と同じ温度依存性を持つ。そのため2つの比

$$\kappa=\frac\lambda\xi,\qquad\kappa^2=\frac{2m^{*2}b}{\mu_0q^2\hbar^2}\tag{5.6.30}$$

は $T_{\mathrm c}$ の近くで温度によらず、物質ごとに決まる定数になる。

界面エネルギーの符号

外場 $B_{\mathrm a}=B_{\mathrm c}$ で、常伝導の領域（$x\to-\infty$）と超伝導の領域（$x\to+\infty$）が平らな界面で接しているとする。式 (5.6.6) から、両側の Gibbs のポテンシャル (5.6.5) の密度は等しい。界面の単位面積あたりの余分のエネルギー $\sigma$ は、$\psi$ を実数に取るゲージで

$$\sigma=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d} x\,\Bigl[\frac{\hbar^2}{2m^*}\psi'^2+\frac{q^2\psi^2}{2m^*}A_y^2+a\psi^2+\frac b2\psi^4+\frac{(B_z-B_{\mathrm c})^2}{2\mu_0}\Bigr]\tag{5.6.31}$$

である（被積分関数は両側の遠方で $0$ になるように、一様な状態の値を引いてある）。界面の超伝導側では、秩序が回復するまでの厚さ $\xi$ ほどの層で凝縮の得が失われ、$\sigma$ を正にする。一方、磁場は厚さ $\lambda$ ほどの層まで入り、そこでは磁場を追い出す損を払わずに済むので、$\sigma$ を負にする。どちらが勝つかは $\kappa=\lambda/\xi$ で決まる。

GL 方程式 (5.6.8)・(5.6.11) をこの境界条件で数値的に解き、式 (5.6.31) を計算すると図 5.6.3 になる。$\sigma$ はちょうど $\kappa=1/\sqrt2$ で $0$ になり、それより小さい $\kappa$ では正、大きい $\kappa$ では負である。$\kappa\to0$ では磁場は界面で階段状に消え、$\sigma$ は秩序の回復の損だけになって $(4\sqrt2/3)\,\xi B_{\mathrm c}^2/(2\mu_0)$ に近づく（例題 5.6.7。数値解の近づき方は遅い）。$\kappa\to\infty$ では $\sigma\to-\frac83(\sqrt2-1)\lambda B_{\mathrm c}^2/(2\mu_0)\approx-1.10\,\lambda B_{\mathrm c}^2/(2\mu_0)$ になる。$\sigma=0$ となる値が $1/\sqrt2$ であることは、Ginzburg と Landau の1950年の論文で既に得られていた。

$\sigma>0$ の物質（第一種超伝導体）では、界面を作ると損なので、外場が $B_{\mathrm c}$ を超えるまで磁場を全部追い出し、$B_{\mathrm c}$ で一斉に常伝導へ移る。$\sigma<0$ の物質（第二種超伝導体）では、界面を作るほど得なので、外場がある値 $B_{\mathrm c1}$ を超えると、磁場は細い常伝導の芯を持つ渦として入り込み、界面の面積を増やそうとする。渦1本が運ぶ磁束は、芯のまわりで位相が $2\pi$ 回ることから式 (5.6.18) で $\Phi_0$ である（それより細かく分けられないので、渦は磁束の量子1本ずつになる）。A. A. Abrikosov（1957）は GL 方程式から、渦が三角格子などの格子を組む混合状態を導いた（A. A. Abrikosov (1957), Zh. Eksp. Teor. Fiz. 32, 1442）。

上部臨界磁場は Landau 準位で決まる

第二種超伝導体で外場を上げていくと、渦が詰まって $\lvert \psi\rvert$ は全体に小さくなり、ある磁場 $B_{\mathrm c2}$ で $0$ になる。$B_{\mathrm c2}$ のすぐ下では $\psi$ が小さいので、GL 方程式 (5.6.8) の非線形の項を落とした

$$\frac{1}{2m^*}(-\mathrm{i}\hbar\nabla-q\bm{A})^2\psi=\lvert a\rvert \psi\tag{5.6.32}$$

を考えればよい。これは一様な磁場 $B$ の中の電荷 $q$・質量 $m^*$ の粒子の Schrödinger 方程式で、$\lvert a\rvert$ がエネルギー固有値の位置にある。第4部第6章で求めたとおり、固有値は Landau 準位 $\frac{\hbar\lvert q\rvert B}{m^*}(n+\frac12)$ に磁場方向の運動エネルギーを足したもので、最小は $\hbar\lvert q\rvert B/(2m^*)$ である。$0$ でない解が存在するのは $\lvert a\rvert$ がこの最小値以上のときで、等号から

$$B_{\mathrm c2}=\frac{2m^*\lvert a\rvert }{\hbar\lvert q\rvert }=\frac{\hbar}{\lvert q\rvert \xi^2}=\frac{\Phi_0}{2\pi\xi^2}\tag{5.6.33}$$

を得る。1本の磁束量子が面積 $2\pi\xi^2$ に1本ずつ入った磁場で、渦の芯どうしが重なり始める密度に当たる。式 (5.6.6) と比べると

$$\frac{B_{\mathrm c2}}{B_{\mathrm c}}=\sqrt2\,\kappa\tag{5.6.34}$$

で、$\kappa>1/\sqrt2$ なら $B_{\mathrm c2}>B_{\mathrm c}$ となり、熱力学的な臨界磁場を超えても超伝導が（渦の格子として）残る。界面エネルギーの符号が変わる値と同じ $1/\sqrt2$ がここにも現れる。

GL 理論は秩序変数の停留点だけを残し、揺らぎを捨てる平均場の理論である。第3部第10章の Ginzburg の判定条件をこの章の量で書くと、揺らぎの大きさの目安は、熱のエネルギー $k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}$ と体積 $\xi^3$ の中の凝縮エネルギー $B_{\mathrm c}^2\xi^3/(2\mu_0)$ の比で決まる。仮に $T_{\mathrm c}=7\,\mathrm K$, $B_{\mathrm c}=0.1\,\mathrm T$, $\xi=100\,\mathrm{nm}$ とすると、比は $2.4\times10^{-5}$ で、$\xi$ の長い超伝導体では $T_{\mathrm c}$ のごく近くまで揺らぎを捨ててよいことが分かる。