授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第6章 §5.6.6　★★ London 兄弟の2つの方程式・完全導体との違い・$B_{\mathrm c}(T)$ の経験式を、GL の汎関数の停留条件から読み直す

London 方程式

学部の固体物理や電磁気の授業では、超伝導を次のように導入することが多い。密度 $n_{\mathrm s}$ の「超伝導電子」（質量 $m$、電荷 $-e$）が抵抗なく加速されるとして、Newton の運動方程式 $m\dot{\bm{v}}=-e\bm{E}$ と $\bm{j}=-n_{\mathrm s}e\bm{v}$ から

$$\frac{\partial \bm{j}}{\partial t}=\frac{n_{\mathrm s}e^2}{m}\bm{E}\qquad(\text{London の第1式})\tag{5.6.35}$$

を得る。これに Faraday の法則の回転を組み合わせると $\frac{\partial }{\partial t}\bigl(\nabla\times\bm{j}+\frac{n_{\mathrm s}e^2}{m}\bm{B}\bigr)=0$ になる。括弧の中は時間変化しないというだけで、その値が $0$ かどうかは決まらない。F. London と H. London（1935）は、括弧の中そのものが $0$ である

$$\nabla\times\bm{j}=-\frac{n_{\mathrm s}e^2}{m}\bm{B}\qquad(\text{London の第2式})\tag{5.6.36}$$

を仮定として置いた（F. London and H. London (1935), Proc. R. Soc. Lond. A 149, 71）。侵入長は $\lambda_{\mathrm L}=\sqrt{m/(\mu_0n_{\mathrm s}e^2)}$ と書かれる。

この章の形との対応は次のとおりである。式 (5.6.14) の係数は $q^2\lvert \psi_0\rvert ^2/m^*$ で、$q=-2e$, $m^*=2m$, $\lvert \psi_0\rvert ^2=n_{\mathrm s}/2$（対の密度は電子の密度の半分）と置くと$q^2\lvert \psi_0\rvert ^2/m^*=4e^2(n_{\mathrm s}/2)/(2m)=n_{\mathrm s}e^2/m$ で、London の第2式と一致する。第1式は、位相が一定になるゲージ（$\nabla\cdot\bm{A}=0$ で $\theta$ が定数）で$\bm{j}_{\mathrm s}=-(q^2\lvert \psi_0\rvert ^2/m^*)\bm{A}$ と書き、$\bm{E}=-\partial\bm{A}/\partial t$（スカラーポテンシャル $0$）で時間微分すれば出る。$\lvert \psi\rvert ^2$ と $m^*$ の規格化は勝手に選べ、物理に現れるのは比 $\lvert \psi\rvert ^2/m^*$ だけである。

授業では第2式を「Meissner 効果を説明するために置く仮定」として導入する。この章では、第2式は $\psi$ の1価性と、電流が $\hbar\nabla\theta-q\bm{A}$ に比例すること（式 (5.6.13)）から出た。電流が正準運動量でなくゲージ不変な運動学的運動量に比例し、しかも $\nabla\theta$ が回転を持たないことが、括弧の中を $0$ にする理由である。

完全導体と Meissner 効果

抵抗が $0$ の導体（完全導体）は第1式だけを満たす。磁場の中で冷やして抵抗を消し、そのあと外場を切ると、第1式と Faraday の法則から内部の $\bm{B}$ は冷やしたときの値に保たれる（磁束が凍結する）。超伝導体は第2式も満たすので、内部の $\bm{B}$ は冷やし方によらず $0$ になる。Meissner と Ochsenfeld の測定は、磁場の中で冷やしたときにも磁束が押し出されることを示し、超伝導体が単なる完全導体ではないことを確かめた。この章の言葉では、内部で $\bm{B}=0$ は $G$ の最小点という平衡の条件であり、どの経路で来たかによらない。

授業ではまた、超伝導体を「磁化率 $\chi_{\mathrm m}=-1$ の完全反磁性体」と呼ぶ。厚い試料では内部で $\bm{B}=\mu_0(\bm{H}+\bm{M})=0$ なので $\bm{M}=-\bm{H}$ で、$\chi_{\mathrm m}=-1$ になる。表面の厚さ $\lambda$ の層を流れる電流 (5.6.16) を、磁化 $\bm{M}$ の表面電流と読み替えたものである。

臨界磁場の温度依存性

実験の教科書では、熱力学的な臨界磁場の温度依存性を経験式 $B_{\mathrm c}(T)\approx B_{\mathrm c}(0)[1-(T/T_{\mathrm c})^2]$ で書くことが多い。GL 理論は $T_{\mathrm c}$ の近くでしか使えず、式 (5.6.6) からは $B_{\mathrm c}\propto(T_{\mathrm c}-T)$ が出る。$t=T/T_{\mathrm c}$ とすると $1-t^2=(1-t)(1+t)\approx2(1-t)$ で、経験式は $T_{\mathrm c}$ の近くで直線になり、GL の形と同じ1次の振る舞いをする。上部臨界磁場 (5.6.33) も $\xi^{-2}\propto(T_{\mathrm c}-T)$ なので $T_{\mathrm c}$ の近くで直線になる。