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この章のまとめ

2026年10月15日11分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第5部 第6章 Ginzburg–Landau 理論と Meissner 効果

AI 生成・木下が未勉強

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第6章 §5.6.7　★★★ 位相の対称性とゲージ不変性を持つ汎関数1つから、Meissner 効果・磁束の量子・光子の質量・第二種超伝導が出る

この章で選んだものと出てきたもの

  • 選んだもの：F=∫[12m∗∣(−iℏ∇−qA)ψ∣2+a∣ψ∣2+b2∣ψ∣4+∣B∣22μ0]F=\int[\frac{1}{2m^*}\lvert (-\mathrm{i}\hbar\nabla-q\bm{A})\psi\rvert ^2+a\lvert \psi\rvert ^2+\frac b2\lvert \psi\rvert ^4+\frac{\lvert \bm{B}\rvert ^2}{2\mu_0}]、a=a0(T−Tc)a=a_0(T-T_{\mathrm c})、外場では G=F−1μ0∫B⋅BaG=F-\frac1{\mu_0}\int\bm{B}\cdot\bm{B}_{\mathrm a}。
  • 一様な解：∣ψ0∣2=−a/b\lvert \psi_0\rvert ^2=-a/b、Bc2/(2μ0)=a2/(2b)B_{\mathrm c}^2/(2\mu_0)=a^2/(2b)、ΔC=(Tc/μ0)(dBc/dT)2\Delta C=(T_{\mathrm c}/\mu_0)(\mathrm{d} B_{\mathrm c}/\mathrm{d} T)^2。
  • 変分：GL 方程式 (5.6.8)、自然境界条件 n⋅(−iℏ∇−qA)ψ=0\bm{n}\cdot(-\mathrm{i}\hbar\nabla-q\bm{A})\psi=0、∇×B=μ0js\nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{j}_{\mathrm s}、js=q∣ψ∣2m∗(ℏ∇θ−qA)\bm{j}_{\mathrm s}=\frac{q\lvert \psi\rvert ^2}{m^*}(\hbar\nabla\theta-q\bm{A})、∇⋅js=0\nabla\cdot\bm{j}_{\mathrm s}=0。
  • London・Meissner：∇2B=B/λ2\nabla^2\bm{B}=\bm{B}/\lambda^2、λ2=m∗/(μ0q2∣ψ0∣2)\lambda^2=m^*/(\mu_0q^2\lvert \psi_0\rvert ^2)。磁束の量子 Φ0=h/(2e)\Phi_0=h/(2e)。
  • Anderson–Higgs：A′=A−(ℏ/q)∇θ\bm{A}'=\bm{A}-(\hbar/q)\nabla\theta で質量の項 ∣A′∣2/(2μ0λ2)\lvert \bm{A}'\rvert ^2/(2\mu_0\lambda^2)、mγ=ℏ/(λc)m_\gamma=\hbar/(\lambda c)、自由度 2+2=1+32+2=1+3。
  • ξ2=ℏ2/(2m∗∣a∣)\xi^2=\hbar^2/(2m^*\lvert a\rvert )、κ=λ/ξ\kappa=\lambda/\xi。界面エネルギーは κ=1/2\kappa=1/\sqrt2 で符号が変わる。Bc2=Φ0/(2πξ2)B_{\mathrm c2}=\Phi_0/(2\pi\xi^2)、Bc2/Bc=2κB_{\mathrm c2}/B_{\mathrm c}=\sqrt2\kappa。

この章では、複素の秩序変数 ψ\psi とベクトルポテンシャル A\bm{A} の自由エネルギー汎関数を選んだ。Landau 関数は位相の大域的な回転で不変で、勾配の項は局所的なゲージ変換で不変になるように最小結合の形で入れた。第3部第10章の Landau 理論に、第4部第6章の荷電粒子の運動エネルギーと第2部の電磁場のエネルギーを足したものである。

当てた道具は、ψ∗\psi^* と A\bm{A} についての変分と Noether の定理だった。ψ∗\psi^* の変分から GL 方程式と、表面で電流が漏れない自然境界条件が出た。A\bm{A} の変分から Ampère の法則が出て、その源の電流は位相の対称性の Noether の電流と同じものだった。電流の保存は、大域的な対称性からも局所的なゲージ不変性の恒等式からも出る。

出てくるものは3つだった。第一に、振幅がそろった内部では電流が ℏ∇θ−qA\hbar\nabla\theta-q\bm{A} に比例し、∇θ\nabla\theta が回転を持たないことから London の第2式が出て、磁場は深さ λ\lambda で減衰する。ψ\psi の1価性からは、穴を貫く磁束が h/∣q∣h/\lvert q\rvert の整数倍に限られることが出て、実験の h/(2e)h/(2e) が ∣q∣=2e\lvert q\rvert =2e を決めた。第二に、位相を消すゲージを選ぶと、ゲージ不変な組み合わせ A′\bm{A}' の2乗がProca 型の質量の項として残り、侵入長は光子の質量の逆数 ℏ/(mγc)\hbar/(m_\gamma c) になる。位相の自由度はゲージ場の縦の偏光になった。第三に、振幅の変わる長さ ξ\xi と λ\lambda の比 κ\kappa が界面エネルギーの符号を決め、κ>1/2\kappa>1/\sqrt2 の物質は磁束量子の渦として磁場を受け入れる。その上限 Bc2B_{\mathrm c2} は、線形化した GL 方程式が第4部第6章の Landau 準位の問題そのものであることから決まった。授業で仮定として置く London の第2式は、この章では汎関数の停留条件と ψ\psi の1価性から導かれる。

総合問題　薄い円筒の超伝導体と転移温度の振動 ★★★

オリジナル半径 RR、肉厚 ww、長さ ℓ\ell の薄い円筒の超伝導体（w≪ξw\ll\xi, w≪λw\ll\lambda）に、軸方向の一様な磁場をかける。円筒の穴を貫く磁束を Φ\Phi とし、肉が薄いので円筒の電流が作る磁場は無視して Φ=πR2Ba\Phi=\pi R^2B_{\mathrm a} とする。肉の中では ∣ψ∣\lvert \psi\rvert は一様とし、方位角を φ\varphi として ψ=∣ψ∣einφ\psi=\lvert \psi\rvert \mathrm{e}^{\mathrm{i} n\varphi}（nn は整数）と置く。対称ゲージで A=Aφeφ\bm{A}=A_\varphi\bm{e}_\varphi, Aφ=Φ/(2πR)A_\varphi=\Phi/(2\pi R) である。

  1. (1) （使う道具：5.6.1節・5.6.3節／第4部第6章 の輪）勾配の項の密度が ℏ2∣ψ∣22m∗R2(n−ν)2\frac{\hbar^2\lvert \psi\rvert ^2}{2m^*R^2}(n-\nu)^2, ν=qΦ/h\nu=q\Phi/h となることを示せ。
  2. (2) （使う道具：5.6.1節／第4部第6章）各 Φ\Phi で nn を選んで自由エネルギーを最小にすると、自由エネルギーは Φ\Phi について周期 h/∣q∣=Φ0h/\lvert q\rvert =\Phi_0 で変わることを示せ。第4部第6章の常伝導の輪の周期 h/eh/e と比べよ。
  3. (3) （使う道具：第3部第10章 の Landau 関数・5.6.5節）超伝導が現れる温度 Tc(Φ)T_{\mathrm c}(\Phi) がTc(Φ)−TcTc=−ξ02R2min⁡n(n−ν)2\frac{T_{\mathrm c}(\Phi)-T_{\mathrm c}}{T_{\mathrm c}}=-\frac{\xi_0^2}{R^2}\min_n(n-\nu)^2 となることを示せ。ここで ξ02=ℏ2/(2m∗a0Tc)\xi_0^2=\hbar^2/(2m^*a_0T_{\mathrm c}) で、ξ(T)2=ξ02/(1−T/Tc)\xi(T)^2=\xi_0^2/(1-T/T_{\mathrm c}) である。
  4. (4) （使う道具：(2)(3)）R=0.5 μmR=0.5\,\mu\mathrm m, ξ0=0.1 μm\xi_0=0.1\,\mu\mathrm m, Tc=1.20 KT_{\mathrm c}=1.20\,\mathrm K のとき（数値は仮のもの）、振動の磁場の周期と、TcT_{\mathrm c} の最大の下がり幅、Φ=Φ0/4\Phi=\Phi_0/4 での下がり幅を求めよ。
  5. (5) （使う道具：5.6.2節の電流／第4部第6章 の永久電流 −∂E/∂Φ-\partial E/\partial\Phi）円筒を周回する全電流 I=js,φwℓI=j_{\mathrm s,\varphi}w\ell がI=−∂F/∂ΦI=-\partial F/\partial\Phi（FF は円筒全体の勾配の項のエネルギー）に等しいことを示せ。
解答

(1) ∇ψ=eφ1R∂φψ=eφinRψ\nabla\psi=\bm{e}_\varphi\frac1R\partial_\varphi\psi=\bm{e}_\varphi\frac{\mathrm{i} n}{R}\psi なので、(−iℏ∇−qA)ψ=eφ(ℏnR−qΦ2πR)ψ=eφℏR(n−ν)ψ(-\mathrm{i}\hbar\nabla-q\bm{A})\psi=\bm{e}_\varphi\bigl(\frac{\hbar n}{R}-\frac{q\Phi}{2\pi R}\bigr)\psi=\bm{e}_\varphi\frac{\hbar}{R}(n-\nu)\psi（qΦ/(2πℏ)=qΦ/h=νq\Phi/(2\pi\hbar)=q\Phi/h=\nu）。絶対値の2乗を 2m∗2m^* で割って ℏ2∣ψ∣22m∗R2(n−ν)2\frac{\hbar^2\lvert \psi\rvert ^2}{2m^*R^2}(n-\nu)^2。第4部第6章の輪の電子の準位 ℏ22mR2(n−qΦ/h)2\frac{\hbar^2}{2mR^2}(n-q\Phi/h)^2 と同じ形である。

(2) 勾配の項は ∣ψ∣2\lvert \psi\rvert ^2 に比例するので、aa に ℏ22m∗R2(n−ν)2\frac{\hbar^2}{2m^*R^2}(n-\nu)^2 を足した aeff=a+ℏ22m∗R2(n−ν)2a_{\mathrm{eff}}=a+\frac{\hbar^2}{2m^*R^2}(n-\nu)^2 が実効的な2次の係数になる。aeff<0a_{\mathrm{eff}}<0 なら最小は −aeff2/(2b)-a_{\mathrm{eff}}^2/(2b)（体積あたり）で、自由エネルギーは ∣aeff∣\lvert a_{\mathrm{eff}}\rvert が最大、すなわち (n−ν)2(n-\nu)^2 が最小になる nn で最も低い。n→n+1n\to n+1, Φ→Φ+h/q\Phi\to\Phi+h/q で n−νn-\nu は変わらないので、min⁡n(n−ν)2\min_n(n-\nu)^2 も自由エネルギーも Φ\Phi について周期 h/∣q∣=h/(2e)h/\lvert q\rvert =h/(2e) を持つ。常伝導の輪では1個の電子の準位が周期 h/eh/e で変わったのに対し、ここでは周期が半分で、電荷 2e2e の対が位相をそろえていることの現れである。

(3) 超伝導が現れるのは aeffa_{\mathrm{eff}} が 00 を切るときである。a0(T−Tc)+ℏ22m∗R2min⁡n(n−ν)2=0a_0(T-T_{\mathrm c})+\frac{\hbar^2}{2m^*R^2}\min_n(n-\nu)^2=0 を TT について解くとTc(Φ)=Tc−ℏ22m∗a0R2min⁡n(n−ν)2T_{\mathrm c}(\Phi)=T_{\mathrm c}-\frac{\hbar^2}{2m^*a_0R^2}\min_n(n-\nu)^2。両辺を TcT_{\mathrm c} で割って ξ02\xi_0^2 を使えば示す式になる。ξ(T)2=ℏ2/(2m∗a0(Tc−T))=ξ02Tc/(Tc−T)\xi(T)^2=\hbar^2/(2m^*a_0(T_{\mathrm c}-T))=\xi_0^2T_{\mathrm c}/(T_{\mathrm c}-T) も式 (5.6.27) から直ちに出る。Φ\Phi が Φ0\Phi_0 の整数倍のとき下がり幅は 00、半整数倍のとき最大になる。これを Little–Parks 効果と呼び、W. A. Little と R. D. Parks が測った（W. A. Little and R. D. Parks (1962), Phys. Rev. Lett. 9, 9）。

(4) 周期は ΔB=Φ0/(πR2)=2.0678×10−15/(π×0.25×10−12)=2.63×10−3 T=2.63 mT\Delta B=\Phi_0/(\pi R^2)=2.0678\times10^{-15}/(\pi\times0.25\times10^{-12})=2.63\times10^{-3}\,\mathrm T=2.63\,\mathrm{mT}。最大の下がり幅は min⁡n(n−ν)2=1/4\min_n(n-\nu)^2=1/4 のときで Tc×(0.1/0.5)2/4=1.20×0.04/4=0.012 K=12 mKT_{\mathrm c}\times(0.1/0.5)^2/4=1.20\times0.04/4=0.012\,\mathrm K=12\,\mathrm{mK}。Φ=Φ0/4\Phi=\Phi_0/4 では min⁡n(n−ν)2=1/16\min_n(n-\nu)^2=1/16 で 3 mK3\,\mathrm{mK}。

(5) 式 (5.6.13) で ℏ∇θ=eφℏn/R\hbar\nabla\theta=\bm{e}_\varphi\hbar n/R なので js,φ=q∣ψ∣2m∗(ℏnR−qΦ2πR)=qℏ∣ψ∣2m∗R(n−ν)j_{\mathrm s,\varphi}=\frac{q\lvert \psi\rvert ^2}{m^*}\bigl(\frac{\hbar n}{R}-\frac{q\Phi}{2\pi R}\bigr)=\frac{q\hbar\lvert \psi\rvert ^2}{m^*R}(n-\nu)。一方、F=2πRwℓ⋅ℏ2∣ψ∣22m∗R2(n−ν)2F=2\pi Rw\ell\cdot\frac{\hbar^2\lvert \psi\rvert ^2}{2m^*R^2}(n-\nu)^2 を Φ\Phi で微分すると、∂ν/∂Φ=q/h=q/(2πℏ)\partial\nu/\partial\Phi=q/h=q/(2\pi\hbar) から−∂F/∂Φ=2πRwℓ⋅ℏ2∣ψ∣2m∗R2(n−ν)q2πℏ=wℓqℏ∣ψ∣2m∗R(n−ν)=js,φwℓ=I-\partial F/\partial\Phi=2\pi Rw\ell\cdot\frac{\hbar^2\lvert \psi\rvert ^2}{m^*R^2}(n-\nu)\frac{q}{2\pi\hbar}=w\ell\frac{q\hbar\lvert \psi\rvert ^2}{m^*R}(n-\nu)=j_{\mathrm s,\varphi}w\ell=I。第4部第6章で1個の電子の準位について In=−∂En/∂ΦBI_n=-\partial E_n/\partial\Phi_{\mathrm B} を示したのと同じ関係が、巨視的な自由エネルギーについて成り立つ。これは js=−δF/δA\bm{j}_{\mathrm s}=-\delta F/\delta\bm{A}（5.6.2節）を、A\bm{A} を一様に Φ\Phi で動かす変分に当てはめたものである。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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