この章のまとめ

(1) $D_\mu\phi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda}D_\mu\phi$（式 (5.5.6) と同じ計算）なので $(D_\mu\phi)^*\to\mathrm{e}^{-\mathrm{i} q\Lambda}(D_\mu\phi)^*$ で、第1項の位相は打ち消す。$\phi^*\phi$ と $F_{\mu\nu}$ も不変である。展開すると $(D_\mu\phi)^*D^\mu\phi=(\partial_\mu\phi^*-\mathrm{i} qA_\mu\phi^*)(\partial^\mu\phi+\mathrm{i} qA^\mu\phi)$ から

$$\mathcal L=\partial_\mu\phi^*\partial^\mu\phi-m^2\phi^*\phi-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} +\mathrm{i} qA^\mu\bigl(\phi\,\partial_\mu\phi^*-\phi^*\partial_\mu\phi\bigr)+q^2A_\mu A^\mu\phi^*\phi .$$

$q$ の1次の項は Dirac 場と同じく「流れ×$A$」の頂点で、2次の項は光子2本の頂点（図 5.5.1 右）である。

(2) Maxwell の項は $\partial\mathcal L/\partial(\partial_\mu A_\nu)=-F^{\mu\nu}$ を与えるので、Euler–Lagrange 方程式は $-\partial_\mu F^{\mu\nu}-\partial\mathcal L/\partial A_\nu=0$、すなわち$\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$、$j^\nu\coloneqq-\partial\mathcal L/\partial A_\nu$ になる。(1) の展開を $A_\nu$ で微分して

$$j^\nu=\mathrm{i} q\bigl[\phi^*D^\nu\phi-\phi\,(D^\nu\phi)^*\bigr]=\mathrm{i} q\bigl(\phi^*\partial^\nu\phi-\phi\,\partial^\nu\phi^*\bigr)-2q^2A^\nu\phi^*\phi .$$

$A=0$ では 第5部第4章の位相の流れの $q$ 倍に一致する。

(3) $A$ に比例する部分は $-2q^2A^\nu\phi^*\phi$ である。Dirac 場の $j^\nu=q\bar\psi\gamma^\nu\psi$ は $A$ を含まないが、スカラー場の流れは $A$ を含む。原因は、スカラー場の $\mathcal L$ が $D_\mu$ を2回含む（微分の2次式）のに対し、Dirac 場の $\mathcal L$ は $D_\mu$ を1回しか含まないことにある。流れを $\partial\phi$ でなく $D\phi$ で書くとゲージ不変な形 $\mathrm{i} q[\phi^*D^\nu\phi-\phi(D^\nu\phi)^*]$ になる。非相対論では $(\bm{p}-q\bm{A})^2/(2m)$ を展開した $q^2\bm{A}^2/(2m)$ の項に対応し、電流の演算子が $q(\bm{p}-q\bm{A})/m$ になることの相対論版である。

(4) 輪の上の角度を $\theta$ とし、$\bm{A}$ を輪に沿う向きに $A_\theta=\Phi/(2\pi R)$ とする（$\oint\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\Phi$、輪の上で $\nabla\times\bm{A}=0$）。(1) の $D_\mu$ の空間成分は SI で $-\mathrm{i}\hbar\nabla-q\bm{A}$ になり、非相対論極限（第5部第4章）で $H=(p_\theta-qA_\theta)^2/(2m_{\mathrm e})$、$p_\theta=-\mathrm{i}\hbar\,\partial_\theta/R$ となる。固有関数 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\theta}$ で

$$E_n=\frac{\hbar^2}{2m_{\mathrm e}R^2}\Bigl(n+\frac{e\Phi}{2\pi\hbar}\Bigr)^2, \qquad E_0=\frac{\hbar^2}{2m_{\mathrm e}R^2},\quad \Phi_0=\frac{2\pi\hbar}{e}=\frac he .$$

$\Phi$ を $\Phi_0$ だけ変えると $n\to n-1$ の付け替えで固有値の集合が元に戻るので、スペクトルは周期 $\Phi_0$ で変わる。これは一周の位相 (5.5.24) $\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Phi/\hbar}$ が $\Phi_0$ ごとに1に戻ることの表れで、輪の上で $\bm{B}=0$ でもエネルギーは磁束に依存する。$E_0$ は第4部第6章の例題 4.6.4 の $\varepsilon _R$ と同じもので、$R=1\,\mu\mathrm m$ では $E_0=3.81\times10^{-8}\,\mathrm{eV}$、$\Phi_0=h/e=4.14\times10^{-15}\,\mathrm{Wb}$ である（その例題の (1)(2)）。場の理論から出発しても、共変微分が $\bm{p}\to\bm{p}-q\bm{A}$ の置き換えを与えるので、同じ結果になる。

(5) (4) で $e\to2e$, $m_{\mathrm e}\to2m_{\mathrm e}$ と置き換えると

$$E_0'=\frac{\hbar^2}{2(2m_{\mathrm e})R^2}=\frac{E_0}{2},\qquad \Phi_0'=\frac{2\pi\hbar}{2e}=\frac{h}{2e}=\frac{\Phi_0}{2}$$

で、スペクトルの周期は $h/(2e)=2.07\times10^{-15}\,\mathrm{Wb}$ に半減する。$R=1\,\mu\mathrm m$ では $E_0'=1.90\times10^{-8}\,\mathrm{eV}$ である。基底状態は $\lvert n+\Phi/\Phi_0'\rvert$ を最小にする $n$ で、$-\frac12<\Phi/\Phi_0'<\frac12$ では $n=0$。$I=-\partial E/\partial\Phi=-2(E_0'/\Phi_0')(\Phi/\Phi_0')$ の大きさは$\Phi\to\pm\Phi_0'/2$ の手前で最大値 $E_0'/\Phi_0'$ をとる。$E_0'/\Phi_0'=(E_0/2)/(\Phi_0/2)=E_0/\Phi_0$ なので、最大の電流は電子1個のときの $1.48\times10^{-12}\,\mathrm A$（第4部第6章の例題 (3)）と変わらない。電荷が倍になって磁束への感度が倍になる分と、質量が倍になって準位の間隔が半分になる分が打ち消し合う。超伝導体の輪で観測される磁束の量子は $h/(2e)$ で、凝縮している粒子の電荷が $2e$ であることを示しており、第5部第6章で扱う。