出てくるもの (3)：共変微分の交換子と非可換ゲージ場

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第5章 §5.5.5　★★ $\left[D_\mu,\,D_\nu\right]=\mathrm{i} qF_{\mu\nu}$ で場の強さは共変微分の曲率。位相の群を SU(2) などに広げると $F$ に $\left[A,\,A\right]$ の項が加わり、ゲージ場自身が荷を持つ

場の強さは共変微分の交換子

普通の微分は互いに交換するが、共変微分は交換しない。式 (5.5.5) から

$$\left[D_\mu,\,D_\nu\right]\psi=\mathrm{i} q\bigl(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\bigr)\psi=\mathrm{i} qF_{\mu\nu}\psi\tag{5.5.22}$$

である。第2部第14章では、曲がった時空の共変微分について $\left[\nabla_\mu,\,\nabla_\nu\right]V^\rho=R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma$ を示し、Riemann テンソルを「共変微分が交換しない度合い」として読んだ。式 (5.5.22) は同じ形で、$F_{\mu\nu}$ は位相の向きについての曲率にあたる。重力では接ベクトルの向きを点から点へ運ぶ規則が Christoffel 記号 $\Gamma$ で、電磁気では位相を点から点へ運ぶ規則が $A_\mu$ である。

この「運ぶ」を式にする。点 $y$ から点 $x$ へ曲線 $C$ に沿って

$$W_C(x,y)\coloneqq\exp\Bigl(-\mathrm{i} q\int_{C,\,y}^{x}A_\mu\,\mathrm{d} x^\mu\Bigr)\tag{5.5.23}$$

を考えると、ゲージ変換 (5.5.4) で $W_C\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda(x)}W_C\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} q\Lambda(y)}$ と変わる。そのため $W_C(x,y)\psi(y)$ は $\psi(x)$ と同じ形で変わり、2点の場を比べる $\bar\psi(x)W_C(x,y)\psi(y)$ はゲージ不変になる。$C$ を閉じた曲線にとると、$W_C$ そのものがゲージ不変で、空間の閉曲線では $A_\mu\mathrm{d} x^\mu=-\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$ から

$$W_C=\exp\Bigl(\mathrm{i} q\oint_C\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}\Bigr)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Phi_B}\tag{5.5.24}$$

になる。$\Phi_B$ は $C$ を貫く磁束で、これは第2部第8章と第4部第6章の Aharonov–Bohm の位相そのものである。一辺 $\varepsilon$ の小さい正方形では $\Phi_B=B\varepsilon^2$（図 5.5.3）で、一周の位相を面積で割ったものが場の強さになる。これは第2部第14章で、ベクトルを小さいループに沿って一周運んだときのずれが Riemann テンソル×面積になったことと同じ構造である。

非可換な位相の群：Yang–Mills 場

ここまでの位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda}$ は複素数で、2つの変換の順序を入れ替えても結果は変わらない（可換な群 U(1)）。場が $N$ 成分を持ち、成分を混ぜる行列 $U(x)$ で変換する場合 $\psi\to U(x)\psi$ に同じ要請を当てる。$U$ が SU(2) の元なら、$U=\exp(\mathrm{i}\sum_a\theta^a(x)T^a)$、$T^a=\sigma^a/2$（$a=1,2,3$）、$\left[T^a,\,T^b\right]=\mathrm{i}\sum_c\epsilon^{abc}T^c$ と書ける。共変微分を

$$D_\mu=\partial_\mu+\mathrm{i} gA_\mu,\qquad A_\mu\coloneqq\sum_aA^a_\mu T^a,\qquad A_\mu\to UA_\mu U^\dagger+\frac{\mathrm{i}} g(\partial_\mu U)U^\dagger\tag{5.5.25}$$

とすると $D_\mu\psi\to UD_\mu\psi$ になる。$A_\mu$ は行列に値をとる場で、変換則は U(1) の場合に $U=\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda}$, $g=q$ とおくと $A_\mu\to A_\mu-\partial_\mu\Lambda$ に戻る。共変微分の交換子は

$$\left[D_\mu,\,D_\nu\right]=\mathrm{i} gF_{\mu\nu},\qquad F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu+\mathrm{i} g\left[A_\mu,\,A_\nu\right],\qquad F^a_{\mu\nu}=\partial_\mu A^a_\nu-\partial_\nu A^a_\mu-g\sum_{b,c}\epsilon^{abc}A^b_\mu A^c_\nu\tag{5.5.26}$$

になり、変換で $F_{\mu\nu}\to UF_{\mu\nu}U^\dagger$ と変わる。$F_{\mu\nu}$ はもはやゲージ不変でないが、トレース $\operatorname{Tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})$ は不変なので、場の項を

$$\mathcal L_{\mathrm{YM}}=-\frac12\operatorname{Tr}\bigl(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\bigr)=-\frac14\sum_aF^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu}\tag{5.5.27}$$

と選ぶ（$\operatorname{Tr}(T^aT^b)=\frac12\delta^{ab}$）。これが Yang–Mills の理論である¹1C. N. Yang and R. L. Mills (1954), Physical Review 96, 191–195.下の脚注へ閉じる。

式 (5.5.26) の $\left[A_\mu,\,A_\nu\right]$ の項は、第2部第14章の Riemann テンソルの $\Gamma\Gamma-\Gamma\Gamma$ の項と同じ役割を持つ。$\mathcal L_{\mathrm{YM}}$ を展開すると、$A$ の3次と4次の項が現れ、ゲージ場どうしが直接相互作用する。光子は電荷を持たないので光どうしは古典的には散乱しないが、非可換なゲージ場は自分自身が荷を持つ。強い相互作用のグルーオン（SU(3)）がその例で、この自己相互作用が第5部第11章で結合定数が高エネルギーで弱くなること（漸近的自由性）の原因になる。ゲージ場に質量項を書けないことは U(1) と同じで、弱い相互作用のゲージ場の質量は、第5部第6章で扱う Anderson–Higgs の機構で生じる。

1　C. N. Yang and R. L. Mills (1954), Physical Review 96, 191–195.