出てくるもの (2)：Gauss の法則を解くと Coulomb 力が出る

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第5章 §5.5.4　★★★ $A^0$ は共役な運動量を持たない拘束の変数で、Gauss の法則を解くと瞬間的な Coulomb の項が Hamiltonian に残る。スカラー場の交換は同符号を引き寄せ、ベクトル場は反発させる

$A^0$ は力学変数でない

第2部第8章で見たとおり、$\mathcal L_{\mathrm{EM}}$ は $\partial_tA^0$ を含まないので、$A^0$ に共役な運動量は $0$ で、$A^0$ の Euler–Lagrange 方程式は時間微分を含まない拘束 $\nabla\cdot\bm{E}=\rho$ になる。ここで $\rho=j^0=q\psi^\dagger\psi$、$\bm{E}=-\nabla A^0-\partial_t\bm{A}$ である。ゲージを Coulomb ゲージ $\nabla\cdot\bm{A}=0$ に固定すると、拘束は $-\nabla^2A^0=\rho$ になり、各時刻で

$$A^0(t,\bm{x})=\int\frac{\rho(t,\bm{y})}{4\pi\lvert \bm{x}-\bm{y}\rvert }\,\mathrm{d}^3y\tag{5.5.16}$$

と解ける。$A^0$ は同じ時刻の電荷の分布で決まり、独立な自由度を持たない。

電場を $\bm{E}=\bm{E}_\parallel+\bm{E}_\perp$、$\bm{E}_\parallel=-\nabla A^0$、$\bm{E}_\perp=-\partial_t\bm{A}$ と分けると、$\nabla\cdot\bm{E}_\perp=0$ から交差項 $\int\bm{E}_\parallel\cdot\bm{E}_\perp\,\mathrm{d}^3x$ は部分積分で消える。縦の部分のエネルギーは、部分積分と $-\nabla^2A^0=\rho$ により $\frac12\int(\nabla A^0)^2\mathrm{d}^3x=\frac12\int\rho A^0\mathrm{d}^3x$ になる。こうして QED の Hamiltonian は

$$H_{\mathrm{QED}}=\int\psi^\dagger\bigl[\bm{\alpha}\cdot(-\mathrm{i}\nabla-q\bm{A})+\beta m\bigr]\psi\,\mathrm{d}^3x +\frac12\int\bigl(\bm{E}_\perp^2+\bm{B}^2\bigr)\mathrm{d}^3x +\frac12\iint\frac{\rho(\bm{x})\rho(\bm{y})}{4\pi\lvert \bm{x}-\bm{y}\rvert }\,\mathrm{d}^3x\,\mathrm{d}^3y\tag{5.5.17}$$

の3つの項に分かれる。1つ目は Dirac 場と横の光子 $\bm{A}$ の結合（$-\bm{j}\cdot\bm{A}$ を含む）、2つ目は横の光子の振動子の集まり（第5部第3章）、3つ目が Coulomb の項 $H_{\mathrm C}$ である。$H_{\mathrm C}$ は場の量子を1つも含まず、電荷の密度だけで書かれている。Coulomb 力は、拘束を解いた結果として Hamiltonian に現れる。2つの点電荷 $q_1$, $q_2$ が距離 $r$ にあれば、交差項は $q_1q_2/(4\pi r)$ で、同符号なら正、すなわち反発する。

スカラー場を交換すると引き合う

この符号を、質量 $M$ の実スカラー場 $\phi$ が静止した源 $s(\bm{x})$ に結合した場合と比べる：

$$\mathcal L_\phi=\frac12\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac12M^2\phi^2+g\,s(\bm{x})\phi .\tag{5.5.18}$$

Hamiltonian は $H=\int\bigl[\frac12\pi^2+\frac12(\nabla\phi)^2+\frac12M^2\phi^2-gs\phi\bigr]\mathrm{d}^3x$ で、$\phi$ と $\pi$ について2次式である。$\phi=\phi_{\mathrm{cl}}+\phi'$ とずらし、$\phi_{\mathrm{cl}}$ を $(-\nabla^2+M^2)\phi_{\mathrm{cl}}=gs$ の解に選ぶと、$\phi'$ の1次の項が消えて

$$H=H_{\mathrm{free}}[\phi',\pi]-\frac g2\int s\,\phi_{\mathrm{cl}}\,\mathrm{d}^3x\tag{5.5.19}$$

になる。これは各モードで $\omega a^\dagger a+\lambda(a+a^\dagger)$ を $a\to a-\lambda/\omega$ とずらしてエネルギーが $-\lambda^2/\omega$ だけ下がることと同じで、2次の Hamiltonian なので近似を含まない。基底状態のエネルギーのずれは古典の値 $-\frac g2\int s\phi_{\mathrm{cl}}$ に等しい。$s=\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{x}_1)+\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{x}_2)$ とすると、$\phi_{\mathrm{cl}}=g\sum_i\mathrm{e}^{-M\lvert \bm{x}-\bm{x}_i\rvert }/(4\pi\lvert \bm{x}-\bm{x}_i\rvert )$ で、2つの源が関わる項は

$$E_{\mathrm{int}}(r)=-\frac{g^2}{4\pi}\frac{\mathrm{e}^{-Mr}}{r}\tag{5.5.20}$$

になる。同じ符号の源が引き合い、到達距離は $1/M$ である。これは湯川の核力のポテンシャルの形である¹1H. Yukawa (1935), Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan 17, 48–57.下の脚注へ閉じる。

符号の違いはどこにあるか

同じ符号の源が、スカラー場の交換では引き合い、電磁場では反発する。違いは $\mathcal L$ の中の勾配の項の符号にある。スカラー場では $\frac12\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi$ の空間部分が $-\frac12(\nabla\phi)^2$ で、場を空間的に変化させると $\mathcal L$ が下がり、エネルギーが上がる。源があると場はエネルギーが下がる向きにずれ、2つの源の場が重なるとエネルギーはさらに下がる。電磁場では $\frac12\bm{E}^2$ の中の $+\frac12(\nabla A^0)^2$ が $\mathcal L$ に正の符号で入る。$A^0$ の方程式は作用の極小でなく極大を選ぶ形になり、拘束を解いた後の $H_{\mathrm C}$ は正の2次形式になる。この符号は $\eta_{00}=+1$ と $\eta_{ii}=-1$ の差、つまり $A^0$ が4元ベクトルの時間成分であることに由来する。一般に、偶数のスピンの場の交換は同符号の源を引き寄せ、奇数のスピンの場の交換は反発させる（重力はスピン2で、質量どうしは引き合う）。

動く電荷：横の光子の交換

電荷が動くと、式 (5.5.17) の1つ目の項 $-\int\bm{j}\cdot\bm{A}$ を通して横の光子とも結合する。電流がゆっくり変わるとして式 (5.5.19) と同じずらしを横の $\bm{A}$ に当てると、2つの電流が関わる項は

$$-\iint j_1^i(\bm{x})\,\frac{\delta_{ij}+(\bm{e}_{\bm{R}})_i(\bm{e}_{\bm{R}})_j}{8\pi R}\,j_2^j(\bm{y})\,\mathrm{d}^3x\,\mathrm{d}^3y,\qquad \bm{R}=\bm{x}-\bm{y},\ \ \bm{e}_{\bm{R}}=\bm{R}/R\tag{5.5.21}$$

になる。核の形は、Fourier 空間で横の成分だけを取り出す射影 $\delta_{ij}-k_ik_j/k^2$ を $1/k^2$ に掛けて逆変換したものである。点電荷 $q_a$ が速度 $\bm{v}_a$ で動くと $\bm{j}_a=q_a\bm{v}_a\delta^{(3)}$ で、この項は Coulomb の項 $q_1q_2/(4\pi r)$ に比べて $v^2$（SI では $v^2/c^2$）の大きさを持つ。古典電磁気学で Darwin の相互作用と呼ばれる速度依存の項にあたる。量子論では、これは結合 $q$ について2次の摂動（光子を1つ放出して吸収する過程）の結果で、QED の物理量は $\alpha=q^2/(4\pi)$ のべき級数として計算される。

1　H. Yukawa (1935), Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan 17, 48–57.