この章のまとめ

(1) 質量項は $A_\mu$ の微分を含まないので、$\partial\mathcal L/\partial(\partial_\mu A_\nu)=-F^{\mu\nu}/\mu_0$ は式 (2.6.12) のまま変わらない。$A_\mu A^\mu=\eta^{\mu\rho}A_\mu A_\rho$ を $A_\nu$ で微分すると $2A^\nu$ なので、$\partial\mathcal L/\partial A_\nu=A^\nu/(\mu_0\lambda^2)-J^\nu$。式 (2.6.9) は $\partial_\mu(-F^{\mu\nu}/\mu_0)-A^\nu/(\mu_0\lambda^2)+J^\nu=0$、すなわち

$$\partial_\mu F^{\mu\nu}+\frac{1}{\lambda^2}A^\nu=\mu_0J^\nu .$$

(2) $\partial_\nu$ を当てると、$\partial_\nu\partial_\mu F^{\mu\nu}=0$（2.6.3節）と $\partial_\nu J^\nu=0$ から $\frac{1}{\lambda^2}\partial_\nu A^\nu=0$、よって $\partial_\nu A^\nu=0$。式 (2.6.22) の $\partial_\mu F^{\mu\nu}=\Box A^\nu-\partial^\nu(\partial_\mu A^\mu)$ に入れると第2項が消えて

$$\Bigl(\Box+\frac{1}{\lambda^2}\Bigr)A^\nu=\mu_0J^\nu .$$

(3) 時間によらないので $\Box=-\nabla^2$。$\nu=0$ の成分は $(-\nabla^2+\lambda^{-2})(\phi/c)=\mu_0c\rho$、$c$ を掛けて $\mu_0c^2=1/\varepsilon _0$ を使うと$(\nabla^2-\lambda^{-2})\phi=-\rho/\varepsilon _0$。$r>0$ で球対称な $\phi=\frac{C}{r}\mathrm{e}^{-r/\lambda}$ を入れると、$\nabla^2\phi=\frac1r\frac{\mathrm{d} ^2}{\mathrm{d} r^2}(r\phi)=\frac{C}{r}\frac{\mathrm{e}^{-r/\lambda}}{\lambda^2}=\phi/\lambda^2$ で右辺 $0$ の式を満たす。原点の近くでは $\phi\approx C/r$ で、$\lambda^{-2}\phi$ の項は $\nabla^2\phi$ の $\delta$ 関数に比べて積分への寄与が $0$ になるので、原点を囲む小さな球で例題 2.6.3 と同じく Gauss の定理を使うと $C=q/(4\pi\varepsilon _0)$ に決まる。$\lambda\to\infty$ で Coulomb のポテンシャルに戻る。

(4) $(\Box+\lambda^{-2})\cos(\bm{k}\cdot\bm{x}-\omega t)=\bigl(-\frac{\omega^2}{c^2}+k^2+\frac{1}{\lambda^2}\bigr)\cos(\cdots)=0$ から

$$\omega^2=c^2k^2+\frac{c^2}{\lambda^2}.$$

$\hbar^2$ を掛けると $(\hbar\omega)^2=(\hbar k)^2c^2+(\hbar c/\lambda)^2$ で、$E^2=p^2c^2+m^2c^4$ と比べて $mc^2=\hbar c/\lambda$、すなわち $m=\hbar/(\lambda c)$。群速度は $\mathrm{d}\omega/\mathrm{d} k=c^2k/\omega=c\cdot ck/\sqrt{c^2k^2+c^2/\lambda^2}<c$ で、質量を持つ粒子と同じく $c$ より遅い（位相速度との積は $c^2$）。

(5) $A_\mu A^\mu\to(A_\mu-\partial_\mu\Lambda)(A^\mu-\partial^\mu\Lambda)=A_\mu A^\mu-2A^\mu\partial_\mu\Lambda+\partial_\mu\Lambda\partial^\mu\Lambda$ で、$\Lambda$ が定数でない限り変わる。$F_{\mu\nu}$ の項は変わらないが、Lagrangian 密度全体はゲージ変換で不変でなくなる。そのため $A_\mu$ からゲージ変換の分を除く自由はもう無く、(2) の $\partial_\nu A^\nu=0$ は自分で選ぶ条件（ゲージの選択）ではなく、運動方程式から必ず従う式である。2.6.1節で課した3つ目の条件を満たす限り、$A_\mu A^\mu$ の項は入れられず、光子の質量は $0$ になる。ゲージ不変性を課す理由は第2部第8章、超伝導体の中でこの形の項が現れることは第5部第6章で扱う。

(6) $m=\hbar/(\lambda c)=1.054571817\times10^{-34}/(10^3\times2.99792458\times10^8)=3.52\times10^{-46}\,\mathrm{kg}$。$mc^2=\hbar c/\lambda=3.16\times10^{-29}\,\mathrm J$ を $e$ で割って $1.97\times10^{-10}\,\mathrm{eV}$。Coulomb のポテンシャルとの比は $\mathrm{e}^{-r/\lambda}$ で、$r=10\,\mathrm m$ では $\mathrm{e}^{-0.01}=0.990$、$r=2\,\mathrm{km}$ では $\mathrm{e}^{-2}=0.135$。$\lambda$ より十分近くでは Coulomb の法則との違いは小さく、$\lambda$ を超えるとポテンシャルは指数関数的に小さくなる。