出てくるもの（3）：粒子と場をまとめた作用と電磁波

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第6章 §2.6.5　★★ $S_{\text{粒子}}+S_{\text{相互作用}}+S_{\text{場}}$ を粒子で変分すると Lorentz 力、場で変分すると Maxwell 方程式。真空では波動方程式で速さ $1/\sqrt{\varepsilon _0\mu_0}$

点電荷の4元電流

$J^\mu A_\mu$ の項は、第2部第2章の荷電粒子の Lagrangian と同じものである。電荷 $q$ の点電荷が軌道 $\bm{r}(t)$ を動くとき、電荷密度と電流密度は

$$\rho(\bm{x},t)=q\,\delta^{(3)}\bigl(\bm{x}-\bm{r}(t)\bigr),\qquad \bm{J}(\bm{x},t)=q\,\dot{\bm{r}}(t)\,\delta^{(3)}\bigl(\bm{x}-\bm{r}(t)\bigr)\tag{2.6.20}$$

である。この $J^\mu$ は式 (2.6.16) を満たす（$\partial_t\rho=-q\dot{\bm{r}}\cdot\nabla\delta^{(3)}=-\nabla\cdot\bm{J}$）。相互作用の項を空間で積分すると

$$\int\bigl(-\rho\phi+\bm{J}\cdot\bm{A}\bigr)\mathrm{d}^3x=-q\,\phi\bigl(\bm{r}(t),t\bigr)+q\,\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}\bigl(\bm{r}(t),t\bigr)=-q\,A_\mu\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} t}$$

で、第2部第2章の $L=\frac12m\dot{\bm{r}}^2-q\phi+q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}$ の相互作用の部分そのものになる。

全体の作用

粒子と場を合わせた作用を

$$S=\underbrace{-mc^2\int\sqrt{1-\frac{\dot{\bm{r}}^2}{c^2}}\,\mathrm{d} t}_{S_{\text{粒子}}} \;\underbrace{-\int J^\mu A_\mu\,\mathrm{d} t\,\mathrm{d}^3x}_{S_{\text{相互作用}}} \;\underbrace{-\frac{1}{4\mu_0}\int F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\,\mathrm{d} t\,\mathrm{d}^3x}_{S_{\text{場}}}\tag{2.6.21}$$

と書く。$S_{\text{粒子}}$ は第2部第3章の自由粒子の作用、$S_{\text{相互作用}}$ は上で見たとおり $-q\int A_\mu\,\mathrm{d} x^\mu$ に等しい。この1つの作用を、2種類の変数で別々に停留させる。

粒子の軌道 $\bm{r}(t)$ をずらすと、$S_{\text{場}}$ は $\bm{r}$ を含まないので寄与しない。残りは第2部第2章・第3章の荷電粒子の作用で、Euler–Lagrange 方程式は

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{m\dot{\bm{r}}}{\sqrt{1-\dot{\bm{r}}^2/c^2}}=q\bigl(\bm{E}+\dot{\bm{r}}\times\bm{B}\bigr)$$

（Lorentz 力の運動方程式）である。

場 $A_\mu$ をずらすと、$S_{\text{粒子}}$ は $A$ を含まないので寄与せず、残りは式 (2.6.6) の作用だから、式 (2.6.13) で $J^\mu$ を点電荷の式 (2.6.20) に置いたものが出る。

1つの作用から「場が電荷を動かす式」と「電荷が場を作る式」が両方出る。どちらの式でも、電荷と場の結びつきの強さを表す定数 $q$ は同じ1つの項 $S_{\text{相互作用}}$ に由来する。電荷が場から受ける力の強さと、電荷が場を作る強さを、別々の定数として与える必要はない。この釣り合いが全運動量・全エネルギーの保存として現れることは、第2部第7章の場の Noether の定理で確かめる。

真空中の電磁波

式 (2.6.13) の左辺を $A$ で書くと、$\partial_\mu F^{\mu\nu}=\partial_\mu\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu(\partial_\mu A^\mu)$ なので

$$\Box A^\nu-\partial^\nu(\partial_\mu A^\mu)=\mu_0J^\nu,\qquad \Box\coloneqq\partial_\mu\partial^\mu=\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2}-\nabla^2\tag{2.6.22}$$

である。ゲージ変換 $A_\mu\to A_\mu-\partial_\mu\Lambda$ で $\partial_\mu A^\mu$ は $\partial_\mu A^\mu-\Box\Lambda$ に変わるので、$\Box\Lambda=\partial_\mu A^\mu$ を満たす $\Lambda$ を選べば $\partial_\mu A^\mu=0$（Lorenz 条件）にすることができる。この条件のもとで式 (2.6.22) は

$$\Box A^\nu=\mu_0J^\nu\tag{2.6.23}$$

の4本の独立な波動方程式になる。真空（$J^\mu=0$）では、$A^\nu$ の各成分が速さ $c$ で伝わる波動方程式を満たす。ここで $c$ は計量に入れた光速そのものだが、SI 単位系で書いた式の中では $\mu_0c^2=1/\varepsilon _0$ を通して $c=1/\sqrt{\varepsilon _0\mu_0}$ と表される。