出てくるもの（1）：Gauss の法則と Ampère–Maxwell の法則

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第6章 §2.6.3　★★★ Euler–Lagrange 方程式の4本は $\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu$。$\nu=0$ が Gauss、$\nu=i$ が変位電流つきの Ampère。$F$ の反対称性から電荷保存が要る

4本の Euler–Lagrange 方程式

式 (2.6.10) と式 (2.6.12) を式 (2.6.9) に入れると$\partial_\mu(-F^{\mu\nu}/\mu_0)-(-J^\nu)=0$、すなわち

$$\boxed{\;\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu\;}\tag{2.6.13}$$

である。これを3次元の量に戻す。

$\nu=0$ では、$F^{00}=0$ と $F^{i0}=-F^{0i}=E^i/c$ から

$$\partial_\mu F^{\mu0}=\sum_i\partial_i\frac{E^i}{c}=\frac{\nabla\cdot\bm{E}}{c}=\mu_0c\rho .$$

両辺に $c$ を掛け、$\mu_0c^2=1/\varepsilon _0$ を使うと

$$\nabla\cdot\bm{E}=\frac{\rho}{\varepsilon _0}\tag{2.6.14}$$

で、Gauss の法則である。前節では、この式の右辺が $\rho/\varepsilon _0$ になるように係数を $1/\mu_0$ に取った。

$\nu=j$ では、$F^{0j}=-E^j/c$、$\partial_0=\frac1c\partial_t$、$F^{ij}=F_{ij}=-\sum_k\epsilon_{ijk}B_k$ から

$$\partial_\mu F^{\mu j}=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial E^j}{\partial t}-\sum_{i,k}\epsilon_{ijk}\partial_iB_k=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial E^j}{\partial t}+(\nabla\times\bm{B})_j$$

（$\epsilon_{ijk}=-\epsilon_{jik}$ を使った）。よって

$$\nabla\times\bm{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial \bm{E}}{\partial t}=\mu_0\bm{J}\tag{2.6.15}$$

で、変位電流 $\varepsilon _0\partial_t\bm{E}$ を含む Ampère–Maxwell の法則である。

学部の電磁気学では、Ampère の法則 $\nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{J}$ に変位電流の項を後から足す。ここでは、変位電流の項は $\partial_\mu F^{\mu j}$ の $\mu=0$ の項として最初から入っている。Lorentz 変換で変わらない $\mathcal L$ を選んだ時点で、$\nu=j$ の式は時間微分と空間微分を $\partial_\mu$ の形でそろって含むしかない。

方程式が解を持つための条件：電荷の保存

式 (2.6.13) の両辺に $\partial_\nu$ を当てる。左辺は

$$\partial_\nu\partial_\mu F^{\mu\nu}=0$$

である。$\partial_\nu\partial_\mu$ は $\mu,\nu$ について対称で、$F^{\mu\nu}$ は反対称なので、和を取ると打ち消し合う（添字の名前 $\mu\leftrightarrow\nu$ を付け替えると全体が $-1$ 倍になる）。したがって右辺も

$$\partial_\nu J^\nu=\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\bm{J}=0\tag{2.6.16}$$

でなければならない。電荷が保存しない源 $J^\mu$ を入れると、式 (2.6.13) は解を持たない。

式 (2.6.16) は、源 $J^\mu$ を外から与えた量とみなす限り、場の方程式から出た「結果」でなく、場の方程式を立てるための「前提」である。同じ条件は作用の側でも要る。ゲージ変換 $A_\mu\to A_\mu-\partial_\mu\Lambda$ で相互作用の項は

$$-J^\mu A_\mu\to-J^\mu A_\mu+J^\mu\partial_\mu\Lambda=-J^\mu A_\mu+\partial_\mu(J^\mu\Lambda)-(\partial_\mu J^\mu)\Lambda$$

と変わり、$\partial_\mu J^\mu=0$ のときだけ全微分の差で済む（例題 2.6.1 (3) と同じ理由で方程式が変わらない）。電荷の保存とゲージ変換に対する不変性の関係を Noether の定理で読むのは第2部第7章である。