授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第6章 §2.6.6　★★ 学部で習う4本の微分形と、$\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu$・Bianchi 恒等式・連続の式を1対1に並べる

4本の対応表

解析力学を使わない電磁気学の授業では、Maxwell 方程式を SI 単位で

$$\nabla\cdot\bm{E}=\frac{\rho}{\varepsilon _0},\qquad \nabla\cdot\bm{B}=0,\qquad \nabla\times\bm{E}=-\frac{\partial \bm{B}}{\partial t},\qquad \nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{J}+\mu_0\varepsilon _0\frac{\partial \bm{E}}{\partial t}$$

と書き、それぞれを Coulomb の法則・磁荷が無いこと・電磁誘導・Ampère の法則と変位電流から導く。電荷保存 $\partial_t\rho+\nabla\cdot\bm{J}=0$ は別の法則として先に置かれ、変位電流はそれと Ampère の法則を両立させるために足される。この章の形との対応は表 2.6.1 のとおりである。

波動方程式の行の $\Box\phi=\rho/\varepsilon _0$ は、$\nu=0$ の $\Box(\phi/c)=\mu_0c\rho$ に $c$ を掛けて $\mu_0c^2=1/\varepsilon _0$ を使ったものである。

授業での導き方とこの章の導き方の違いは2点ある。1点目は、授業では8本を同じ資格の法則として並べるが、この章では4本（Gauss・Ampère–Maxwell）が作用の停留から出る方程式、残りの4本（$\nabla\cdot\bm{B}=0$・Faraday）が $A_\mu$ を使ったことの帰結である。2点目は、変位電流の扱いである。授業では電荷保存と矛盾しないように変位電流を足すが、この章では $\mathcal L$ を Lorentz 不変なスカラーに取った時点で$\partial_\mu F^{\mu j}$ の時間微分の項として含まれていて、電荷保存は逆に方程式の側から要求される。

エネルギー密度との関係

授業で習う電磁場のエネルギー密度は $u=\frac{\varepsilon _0}{2}E^2+\frac{1}{2\mu_0}B^2$ で、この章の Lagrangian 密度 $\frac{\varepsilon _0}{2}E^2-\frac{1}{2\mu_0}B^2$ とは $B^2$ の項の符号が違う。粒子の $L=T-V$ とエネルギー $E=T+V$ の関係と同じで、$\partial_t\bm{A}$ を含む $E^2$ の項が運動エネルギー、$B^2$ の項が位置エネルギーの役をしている。$\mathcal L$ から Legendre 変換でエネルギー密度を作る手続きと、そのとき現れる $\varepsilon _0\bm{E}\cdot\nabla\phi$ のような余分な項の処理は、エネルギー運動量テンソルと合わせて第2部第7章で行う。

図 2.6.3　充電中のコンデンサー。導線のまわりの輪に Ampère の法則を当てるとき、輪に張る面を導線を横切るように取ると（面1）電流 $I$ が貫き、極板の間を通るように取ると（面2）電流は貫かない。2つの面で答えが一致するには、極板の間で増えている電場の変位電流 $\varepsilon _0\partial_t\bm{E}$ が面2を貫いて、$I$ と同じ大きさを持つ必要がある