出てくるもの (1)：Dirac 場の量子化と反粒子

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第5章 §5.5.3　★★★ Dirac 場の Hamiltonian は $\sum E(b^\dagger b-dd^\dagger)$ の形になり、交換関係では下に有界でなく、反交換関係で初めて陽電子が正のエネルギーを持つ

第5部第4章の最後で、Klein–Gordon 場の負の振動数の係数を反粒子の生成演算子と読むと、エネルギーが正、電荷が粒子数の差になることを見た。Dirac 場でも同じ読み方をするが、ここでは交換関係が使えず、反交換関係が必要になる。この節では $A_\mu=0$ として自由な Dirac 場を量子化する。相互作用は5.5.4節で戻す。

正準運動量と Hamiltonian

式 (5.5.1) を時間微分と空間微分に分けると、$\gamma^0\gamma^0=1$, $\gamma^0\gamma^j=\alpha^j$ から

$$\mathcal L_{\mathrm D}=\mathrm{i}\psi^\dagger\partial_t\psi-\psi^\dagger h\psi,\qquad h\coloneqq-\mathrm{i}\bm{\alpha}\cdot\nabla+\beta m\tag{5.5.10}$$

である。$\psi$ に共役な運動量は $\pi_\psi=\partial\mathcal L/\partial(\partial_t\psi)=\mathrm{i}\psi^\dagger$ で、Hamiltonian 密度は$\mathcal H=\pi_\psi\partial_t\psi-\mathcal L_{\mathrm D}=\psi^\dagger h\psi$ になる。$\mathcal L_{\mathrm D}$ が $\partial_t\psi$ の1次式なので、第1部第7章の Legendre 変換で速度を消す段は無く、$\psi$ と $\psi^\dagger$ がそのまま正準変数の組になる。

体積 $V$ の箱の中で、平面波で展開する。第5部第4章の正の振動数のスピノル $u_s(\bm{p})$（$h(\bm{p})u_s=E_{\bm{p}}u_s$）に加えて、$\mathrm{e}^{+\mathrm{i} p\cdot x}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(E_{\bm{p}}t-\bm{p}\cdot\bm{x})}$ を掛ける負の振動数のスピノル

$$v_s(\bm{p})=\begin{pmatrix}\bm{\sigma}\cdot\bm{p}\,\chi_s/\sqrt{E_{\bm{p}}+m}\\ \sqrt{E_{\bm{p}}+m}\,\chi_s\end{pmatrix},\qquad h(-\bm{p})\,v_s(\bm{p})=-E_{\bm{p}}v_s(\bm{p})\tag{5.5.11}$$

を使う（$h(\bm{k})\coloneqq\bm{\alpha}\cdot\bm{k}+\beta m$、$\chi_s$ は2成分の正規直交なスピノル、$E_{\bm{p}}=\sqrt{\bm{p}^2+m^2}$）。$u_s^\dagger u_{s'}=v_s^\dagger v_{s'}=2E_{\bm{p}}\delta_{ss'}$ と $u_s(\bm{p})^\dagger v_{s'}(-\bm{p})=0$ が成り立つ。場を

$$\psi(x)=\sum_{\bm{p},s}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bm{p}}V}}\Bigl(b_{\bm{p}s}\,u_s(\bm{p})\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\cdot x}+d_{\bm{p}s}^\dagger\,v_s(\bm{p})\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} p\cdot x}\Bigr)\tag{5.5.12}$$

と書き、$H=\int\psi^\dagger h\psi\,\mathrm{d}^3x$ と電荷 $Q=q\int\psi^\dagger\psi\,\mathrm{d}^3x$ に入れる。箱の上で積分すると運動量の等しい項だけが残り、$h$ は $b$ の項に $+E_{\bm{p}}$、$d^\dagger$ の項に $-E_{\bm{p}}$ を掛け、$u$ と $v$ の交差項は直交性で消える。その結果

$$H=\sum_{\bm{p},s}E_{\bm{p}}\bigl(b_{\bm{p}s}^\dagger b_{\bm{p}s}-d_{\bm{p}s}d_{\bm{p}s}^\dagger\bigr),\qquad Q=q\sum_{\bm{p},s}\bigl(b_{\bm{p}s}^\dagger b_{\bm{p}s}+d_{\bm{p}s}d_{\bm{p}s}^\dagger\bigr)\tag{5.5.13}$$

になる。ここまでは演算子の順序を入れ替えていないので、交換関係でも反交換関係でも同じ式である。

交換関係では下に有界でない

$d$ に Bose の交換関係 $\left[d,\,d^\dagger\right]=1$ を課すと、$-dd^\dagger=-d^\dagger d-1$ なので $H=\sum E(b^\dagger b-d^\dagger d-1)$ になる。$d^\dagger$ で作った粒子を1つ足すごとにエネルギーが $E_{\bm{p}}$ ずつ下がり、エネルギーに下限が無い。第5部第4章の Dirac の海が1粒子の理論で抱えていた問題が、場の理論で交換関係を使うとそのまま残る。

反交換関係で正になる

反交換関係

$$\{b_{\bm{p}s},b^\dagger_{\bm{p}'s'}\}_{+}=\{d_{\bm{p}s},d^\dagger_{\bm{p}'s'}\}_{+}=\delta_{\bm{p}\bm{p}'}\delta_{ss'},\qquad\text{ほかの反交換子は }0\tag{5.5.14}$$

を課すと、$-dd^\dagger=d^\dagger d-1$ なので

$$H=\sum_{\bm{p},s}E_{\bm{p}}\bigl(b^\dagger_{\bm{p}s}b_{\bm{p}s}+d^\dagger_{\bm{p}s}d_{\bm{p}s}\bigr)-\sum_{\bm{p},s}E_{\bm{p}},\qquad Q=q\sum_{\bm{p},s}\bigl(b^\dagger_{\bm{p}s}b_{\bm{p}s}-d^\dagger_{\bm{p}s}d_{\bm{p}s}\bigr)+q\sum_{\bm{p},s}1\tag{5.5.15}$$

となる。定数の項は真空のエネルギーと電荷で、正規順序（消滅演算子を右に寄せ、そのとき反交換子なら符号を変える）で取り除く。残った式では $b$ の粒子も $d$ の粒子もエネルギー $E_{\bm{p}}>0$ を持ち、電荷は $b$ の粒子が $q$、$d$ の粒子が $-q$ である。電子（$q=-e$）なら $d$ の粒子は電荷 $+e$ の陽電子になる。真空のエネルギーの定数 $-\sum E_{\bm{p}}$ は、第5部第3章の Bose 場の零点エネルギー $+\sum\frac12\omega$ と逆の符号を持つ。

反交換関係 (5.5.14) から $(b^\dagger_{\bm{p}s})^2=\frac12\{b^\dagger_{\bm{p}s},b^\dagger_{\bm{p}s}\}_{+}=0$ で、同じ状態に2つの粒子を入れることはできない。Pauli の排他原理が、エネルギーを下に有界にする要請から出てきた。場の演算子でいえば $\{\psi_a(\bm{x}),\psi_b^\dagger(\bm{y})\}_{+}=\delta_{ab}\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{y})$ で、Poisson 括弧の $\mathrm{i}$ 倍を交換子に置き換える第4部第1章の規則とは別の規則を課したことになる。整数スピンの場には交換関係、半整数スピンの場には反交換関係を課さなければ、エネルギーの正値性か局所性のどちらかが成り立たない。これがスピンと統計の定理である¹1W. Pauli (1940), Physical Review 58, 716–722.下の脚注へ閉じる。その証明はこの章の範囲を超えるので、結果だけ引く。古典の Dirac 場が実験室で観測されない（電子の古典的な場の振幅が巨視的に積み上がらない）ことも、排他原理の帰結である。

1　W. Pauli (1940), Physical Review 58, 716–722.