授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第5章 §5.5.6　★★ SI の最小結合の Hamiltonian・原子と光の Coulomb ゲージの Hamiltonian・3つの単位系の微細構造定数を、この章の $\mathcal L_{\mathrm{QED}}$ と並べる

SI に戻した共変微分と最小結合

SI に戻すと、ゲージ変換と共変微分は（記法の正本の流儀で）

$$\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda/\hbar}\psi,\quad A_\mu\to A_\mu-\partial_\mu\Lambda,\qquad D_\mu=\partial_\mu+\frac{\mathrm{i} q}{\hbar}A_\mu,\quad A_\mu=(\phi/c,-\bm{A})\tag{5.5.28}$$

である。空間成分は $-\mathrm{i}\hbar D_j=-\mathrm{i}\hbar\partial_j-qA^j$、すなわち $\bm{p}\to\bm{p}-q\bm{A}$ で、時間成分は $\mathrm{i}\hbar\partial_t\to\mathrm{i}\hbar\partial_t-q\phi$ である。電磁気や量子力学の授業では、電磁場中の粒子の Hamiltonian

$$H=\frac{(\bm{p}-q\bm{A})^2}{2m}+q\phi\tag{5.5.29}$$

を、古典の Lorentz 力を再現するものとして、あるいは 第2部第2章の Lagrangian の Legendre 変換として与える。この章の立場では、式 (5.5.29) は局所的な位相の対称性を要請した $\mathcal L_{\mathrm{QED}}$ の非相対論極限（第5部第4章で小さい成分を消した結果）である。$\bm{A}$ が $\bm{p}$ と組になって現れるのは偶然でなく、$\bm{p}=-\mathrm{i}\hbar\nabla$ が位相の勾配を測る演算子だからである。

原子と光の Hamiltonian

量子光学や原子物理の授業で使う「原子と量子化した光」の Hamiltonian は、式 (5.5.17) の非相対論極限を SI で書いたものである：

$$H=\sum_i\frac{\bigl(\bm{p}_i-q_i\bm{A}(\bm{r}_i)\bigr)^2}{2m_i}+\sum_{i<j}\frac{q_iq_j}{4\pi\varepsilon_0\lvert \bm{r}_i-\bm{r}_j\rvert }+\sum_{\bm{k},s}\hbar\omega_k\Bigl(a^\dagger_{\bm{k}s}a_{\bm{k}s}+\frac12\Bigr),\tag{5.5.30}$$

$$\bm{A}(\bm{r})=\sum_{\bm{k},s}\sqrt{\frac{\hbar}{2\varepsilon_0\omega_kV}}\,\bm{e}_{\bm{k}s}\bigl(a_{\bm{k}s}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}+a^\dagger_{\bm{k}s}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}\bigr),\qquad \bm{k}\cdot\bm{e}_{\bm{k}s}=0 .$$

2つ目の項が $H_{\mathrm C}$、3つ目が横の光子、1つ目を展開した $-\frac{q}{m}\bm{A}\cdot\bm{p}$ と $\frac{q^2}{2m}\bm{A}^2$ が光の吸収・放出と散乱を表す（$\nabla\cdot\bm{A}=0$ なので $\bm{p}\cdot\bm{A}=\bm{A}\cdot\bm{p}$）。原子の中の電子どうしの Coulomb 反発がポテンシャルとして書かれ、光子として量子化されるのが横の2偏光だけであることは、5.5.4節で $A^0$ が拘束の変数だったことの言い換えである。$\bm{A}^2$ の項は、荷電スカラー場の最小結合で現れた図 5.5.1 右の頂点の非相対論版にあたる。

3つの単位系の微細構造定数

同じ結合の強さが、単位系によって違う式で書かれる。SI では $\alpha=e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c)$、Gauss 単位系では電荷の単位を $\varepsilon_0$ に吸収して $\alpha=e^2/(\hbar c)$、この章の Heaviside–Lorentz の自然単位では $\alpha=e^2/(4\pi)$ である。Gauss 単位系では Coulomb の力が $e^2/r^2$ で $4\pi$ が Maxwell 方程式の側に現れ、Heaviside–Lorentz では力が $e^2/(4\pi r^2)$ で $4\pi$ が力の側に現れる。場の量子論の教科書が Heaviside–Lorentz を使うのは、$\mathcal L=-\frac14F^2$ の形が係数なしで書けるからである。