この章で選ぶ H と当てる道具：Heisenberg 模型

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第3章 §5.3.1　★★★ 格子点ごとの大きさ $S$ のスピンと、隣どうしの等方な交換 $J\,\bm{S}_i\cdot\bm{S}_j$ だけを残す。強磁性の基底状態は厳密に分かるが、反強磁性の Néel 状態は固有状態でない。その差が平均場とスピン波の両方の出発点になる

前の第5部第2章では、磁性を担うのはどの電子かを決め、Hund 則で原子1個の中のスピンの大きさ $S$ を、直接交換・超交換・Dzyaloshinskii–Moriya の相互作用で原子どうしのスピンの結合を出した。とくに、半分詰まった Hubbard 模型で電子の飛び移り $t$ が Coulomb の反発 $U$ より十分小さいとき、隣り合う原子のスピンの間に反強磁性の交換相互作用 $J=4t^2/U$ が現れることを示した。この章はその結果を出発点にし、原子の中の電子の自由度を捨てて、格子点ごとに1本のスピン $\bm{S}_i$ が置かれ、隣どうしが $J\,\bm{S}_i\cdot\bm{S}_j$ で結合している模型、すなわち Heisenberg 模型だけを残す。

Heisenberg 模型は見た目が単純だが、量子のスピンが $10^{23}$ 個結合した多体問題で、3次元では厳密には解けない。そこで2つの道具を当てる。1つめは Weiss の平均場で、ほかのスピンを平均値で置き換え、1個のスピンの問題に縮める。これは解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第7章で Ising 模型に当てたものと同じ近似を、量子のスピン $S$ に広げたものである。2つめはスピン波で、低温で秩序がほとんど完全なときに、そろった向きからの小さなずれを Bose 粒子（マグノン）として数える。

この章の節の並びは次のとおりである。最初に Heisenberg 模型を書き、強磁性の基底状態が厳密に分かること、反強磁性ではそうでないことを2スピンで確かめる（5.3.1節）。次に平均場を強磁性に当てて Curie 温度・Curie–Weiss の法則・磁化の温度変化を出し（5.3.2節）、副格子を2つ用意して反強磁性の Néel 温度と、磁場の向きで違う帯磁率を出す（5.3.3節）。そのあとスピン波で強磁性体の Bloch の $T^{3/2}$ 則と、反強磁性体の線形な分散・零点の揺らぎを出す（5.3.4節）。削ったものを並べて近似の裏付けの札を貼り、帯磁率と中性子散乱で確かめ（5.3.5節）、授業の分子場の式と対応させ（5.3.6節）、まとめと総合問題で終える。

この章では次の約束を置く。スピン演算子 $\bm{S}_i=(S_i^x,S_i^y,S_i^z)$ は $\hbar$ を単位にした無次元の量で、$\left[S^x,\,S^y\right]=\mathrm{i} S^z$、$\bm{S}^2=S(S+1)$ を満たす。したがって Zeeman のエネルギーは $g\mu_{\mathrm B}\bm{S}\cdot\bm{B}$（電子のスピンの磁気モーメントは $\bm{\mu}=-g\mu_{\mathrm B}\bm{S}$）と書ける。この章では演算子の帽子を省く（スピン演算子もマグノンの生成消滅演算子 $b_i$, $b_i^\dagger$ も帽子なしで書く）。交換相互作用 $J$ は記法の正本どおり $J>0$ が反強磁性で、強磁性では $J<0$ なので大きさを $\lvert J\rvert$ と書く。磁化率は $\chi_{\mathrm m}$ と書く。

選ぶ H

選ぶ Hamiltonian は

$$H=\sum_{\langle ij \rangle }J\,\bm{S}_i\cdot\bm{S}_j+g\mu_{\mathrm B}B\sum_iS_i^z\tag{5.3.1}$$

である。$\langle ij \rangle$ は隣り合う格子点の組を1組につき1回ずつ数える和で、格子点の数を $N$、1つの格子点の隣の数（配位数）を $z$ とすると、組の数は $Nz/2$ である。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第7章の Ising 模型は $H=-J\sum s_is_j$（$J>0$ で強磁性）と書くので、$J$ の前の符号の向きがこの章と逆である。向こうの $J$ はこの章の $-J$ にあたる（$s=\pm1$ と $S=1/2$ の換算は総合問題 (5) の $J_{\mathrm I}=J/4$）。磁場 $\bm{B}=B\bm{e}_z$ は $z$ 方向にかけた。式 (5.3.1) に残っているのは、格子点ごとのスピンの向きという自由度だけである。電子がどの軌道にいるか、電子が原子から原子へ動くかといった情報は、第5部第2章で $S$ と $J$ の2つの数に畳み込まれている。

内積 $\bm{S}_i\cdot\bm{S}_j$ は、昇降演算子 $S^\pm=S^x\pm\mathrm{i} S^y$ を使うと

$$\bm{S}_i\cdot\bm{S}_j=S_i^zS_j^z+\frac12\bigl(S_i^+S_j^-+S_i^-S_j^+\bigr)\tag{5.3.2}$$

と書ける。第1項は2つのスピンの $z$ 成分をそのまま掛けたもので、第2項は一方のスピンを1つ上げ、もう一方を1つ下げる「スピンの交換」である。磁性の物理の多くは、この第2項をどう扱うかで決まる。

対称性と、強磁性の基底状態

式 (5.3.1) の第1項はスピンを全部同じだけ回しても変わらないので、全スピン $\bm{S}_{\mathrm{tot}}=\sum_i\bm{S}_i$ と交換する。これは解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第5章の回転対称性と Noether の定理の、スピン空間での形である。磁場の項は $z$ 軸のまわりの回転だけを残すので、磁場があっても $S_{\mathrm{tot}}^z$ は保存する。

強磁性（$J=-\lvert J\rvert <0$）では、基底状態が厳密に分かる。すべてのスピンが $S^z=S$ をとる状態 $| \Uparrow \rangle =| S,S,\dots,S \rangle$ に式 (5.3.2) を当てると、$S_i^+$ は最大の状態を消すので第2項は 0 になり、第1項は $S^2$ を返す。したがって $| \Uparrow \rangle$ は磁場のないときの固有状態で、エネルギーは

$$E_0=-\lvert J\rvert S^2\cdot\frac{Nz}{2}\tag{5.3.3}$$

である。一方、どの状態についても1組の $\langle \bm{S}_i\cdot\bm{S}_j \rangle$ は2つのスピンを合成した大きさが最大 $2S$ の場合の値 $S^2$ を超えないので、エネルギーは $-\lvert J\rvert S^2$ を組の数だけ足したものより下がらない。$| \Uparrow \rangle$ はこの下限に達しているので基底状態である。全スピンが保存するので、$| \Uparrow \rangle$ を全体で回した状態もすべて同じエネルギーをもち、基底状態は $2NS+1$ 重に縮退している。

反強磁性では Néel 状態が固有状態でない

反強磁性（$J>0$）で同じことを試す。格子が2つの副格子 A・B に分かれ、どの組も A と B を結ぶとき（単純立方・正方格子・1次元の鎖）、A のスピンを全部 $S^z=+S$、B のスピンを全部 $S^z=-S$ にした Néel 状態 $| \mathrm{N} \rangle$ が古典的には最もエネルギーが低い。しかし $| \mathrm N \rangle$ に式 (5.3.2) の第2項を当てると、A のスピンを1つ下げ B のスピンを1つ上げた状態が出てくるので、$| \mathrm N \rangle$ は固有状態でない。反強磁性の基底状態は、Néel 状態に「隣どうしのスピンの交換」が重なった、厳密には書けない状態である。次の例題で、その差の大きさを2スピンで測る。

当てる道具

この章で当てる道具は2つある。1つめは Weiss の平均場で、解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第7章の Gibbs–Bogoliubov の不等式$F\le F_0+\langle H-H_0 \rangle _0$ を、格子点ごとの密度行列の積に制限して当てる。そこで示したとおり、最良の積は「ほかのスピンを平均値で置き換えた1体の Hamiltonian」のカノニカル分布になる。ここでは Ising の $s=\pm1$ を量子のスピン $S$ に替えるので、1体の問題に Brillouin 関数が現れる（5.3.2節）。2つめは スピン波で、Holstein と Primakoff のスピン演算子の Bose 粒子による表し方を使い、そろった状態からのずれの2次までを残して調和振動子の集まりに直す（5.3.4節）。平均場は転移温度の近くまで含めた全体の形を、スピン波は低温の正確な形を与えるので、2つは互いに補い合う。