出てくるもの（2）：平均場近似は試す分布を狭めた変分原理

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第2部 第2章 §2.2.4　★★★ 試す分布を独立な分布に限ると平均場近似になる。得られる自由エネルギーは厳密な値の上界で、誤差は $k_{\mathrm B} T$ と最も近い独立な分布までの相対エントロピーの積

独立な分布に限る

$N$ 個のスピン $s_j=\pm1$ が最近接の対 $\langle jk\rangle$ どうし結合した Ising 模型

$$E(s)=-J_0\sum_{\langle jk\rangle}s_js_k-h\sum_js_j\qquad(J_0>0)\tag{2.2.12}$$

を考える。$J_0$ は結合の強さ、$h$ は磁場に磁気モーメントを掛けたエネルギーである。¹1固体の巻（ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第5部第3章）は量子のスピンで $\hat H=J\sum\hat{\bm{S}}_i\cdot\hat{\bm{S}}_j$ と書き、強磁性は $J<0$ である。この章の $J_0>0$（強磁性）は向こうの $-J>0$ にあたる。同じ Weiss の平均場を古典の Ising 模型で組んだのが 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第7章である。下の脚注へ閉じる各スピンには $z$ 個の最近接がいるとする。Gibbs 分布は $2^N$ 個の状態の上の分布で、$N$ が大きいと $Z$ を直接計算できない。そこで、試す分布を各スピンが独立な分布

$$q_m(s)=\prod_{j=1}^N\frac{1+ms_j}{2}\qquad(-1\le m\le1)\tag{2.2.13}$$

に限る。$q_m$ のもとで各スピンの平均は $m$、異なるスピンは独立なので $\langle s_js_k \rangle =m^2$ である。式 (2.2.2) から、1スピンあたり

$$\frac{F[q_m]}{N}=-\frac{zJ_0}{2}m^2-hm- k_{\mathrm B} T\,h_{\mathrm b}\Bigl(\frac{1+m}{2}\Bigr)\tag{2.2.14}$$

を得る（対の数は $Nz/2$、$h_{\mathrm b}$ は二値エントロピー）。$m$ で微分して $0$ とおくと、$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} m}h_{\mathrm b}\bigl(\frac{1+m}2\bigr)=-\operatorname{artanh}m$ から

$$m=\tanh\bigl(\beta(zJ_0m+h)\bigr)\tag{2.2.15}$$

が出る。これは各スピンが周りのスピンの平均から $zJ_0m$ の有効な磁場を受けるとした Weiss の平均場の式である。

Gibbs の変分原理から、独立な分布の中でどれを選んでも $F[q_m]\ge F_{\mathrm{eq}}$ で、

$$F_{\mathrm{MF}}\coloneqq\min_mF[q_m]=F_{\mathrm{eq}}+ k_{\mathrm B} T\min_mD(q_m\,\|\,p_{\mathrm{eq}})\tag{2.2.16}$$

が成り立つ。平均場近似の自由エネルギーは厳密な値の上界で、誤差は $k_{\mathrm B} T$ と「Gibbs 分布から最も近い独立な分布までの相対エントロピー」の積に等しい。平均場近似は、試す分布の空間を独立な分布という部分集合に狭め、その中で最良のものを選ぶ操作である。第V巻の言葉では A 型（射影）の近似にあたる。

相転移と対称性の破れ

$h=0$ のとき、$k_{\mathrm B}T_{\mathrm c}=zJ_0$ とおくと、式 (2.2.14) を $m=0$ のまわりで展開して（2.2.6節）$F[q_m]/N=- k_{\mathrm B} T\ln2+\frac12 k_{\mathrm B}(T-T_{\mathrm c})m^2+\mathcal{O}(m^4)$ となる。$T>T_{\mathrm c}$ では $m=0$ が最小、$T<T_{\mathrm c}$ では $m=0$ が極大になり、$\pm m^*$ の2つの最小が現れる（図 2.2.3）。2.2.2節で示したとおり、全部の分布の上の $F[p]$ は凸で最小がただ1つなので、厳密な Gibbs 分布は $h=0$ で上下対称のままである。最小が2つに分かれるのは、独立な分布の族が凸集合でないためで、$q_{+m^*}$ と $q_{-m^*}$ を混ぜた分布は独立な分布の族に入らない。有限の系では、2つの最小の対称な混合が $F$ をさらに下げる（総合問題で確かめる）。系が大きい極限で、2つの山の間の行き来が起きなくなることが、物理の対称性の破れにあたる。

1　固体の巻（ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第5部第3章）は量子のスピンで $\hat H=J\sum\hat{\bm{S}}_i\cdot\hat{\bm{S}}_j$ と書き、強磁性は $J<0$ である。この章の $J_0>0$（強磁性）は向こうの $-J>0$ にあたる。同じ Weiss の平均場を古典の Ising 模型で組んだのが 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第7章である。