出てくるもの2：反強磁性と2つの副格子

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第3章 §5.3.3　★★★ 副格子ごとに平均場を置くと、Néel 温度 $T_{\mathrm N}$ と、高温の $\chi_{\mathrm m}=C/(T+\theta)$ が出る。秩序の軸に垂直な帯磁率は温度によらず一定で、平行な帯磁率は低温で 0 に落ちる

高温の帯磁率と Néel 温度

$J>0$ で、格子が副格子 A・B に分かれ、どの格子点の $z$ 個の隣もすべて反対の副格子にあるとする。副格子ごとに平均 $\langle \bm{S}_A \rangle$、$\langle \bm{S}_B \rangle$ を置くと、A の格子点の平均場の Hamiltonian は

$$H_A=\bigl(g\mu_{\mathrm B}\bm{B}+zJ\langle \bm{S}_B \rangle \bigr)\cdot\bm{S}_A\tag{5.3.13}$$

で、B も A と B を入れ替えた形になる。

まず高温で弱い一様な磁場をかけ、$\langle S_A^z \rangle =\langle S_B^z \rangle =-\sigma$ とする。1次の式は $\sigma=\frac{S(S+1)}{3 k_{\mathrm B} T}(g\mu_{\mathrm B}B-zJ\sigma)$ で、強磁性の式の $z\lvert J\rvert$ が $-zJ$ に替わっただけである。解くと

$$\chi_{\mathrm m}=\frac{C}{T+\theta},\qquad k_{\mathrm B}\theta=\frac{zJS(S+1)}{3}\tag{5.3.14}$$

となる。隣のスピンが外の磁場と逆向きの分子場を作るので、帯磁率は相互作用のない Curie の法則より小さい。

磁場をかけずに、$\langle S_A^z \rangle =-\sigma_A$、$\langle S_B^z \rangle =+\sigma_A$ と副格子ごとに逆を向く解を探す。A の有効な場は $zJ\langle S_B^z \rangle =zJ\sigma_A$ で $S_A^z$ を下に向けるので、自己無撞着方程式は $\sigma_A=SB_S(\beta SzJ\sigma_A)$ となり、強磁性の式 (5.3.7) で $\lvert J\rvert$ を $J$ に替えたものと同じである。したがって

$$k_{\mathrm B} T_{\mathrm N}=\frac{zJS(S+1)}{3}= k_{\mathrm B}\theta\tag{5.3.15}$$

で副格子の磁化が現れる。これが Néel 温度で、隣どうしの結合だけなら $\theta/T_{\mathrm N}=1$ である。

同じ副格子の中の結合があるとき

同じ副格子の中の第2近接にも結合 $J_2>0$ があり（$z_2$ 個）、第1近接を $J_1$（$z_1$ 個）と書く。高温の一様な応答では2種類の隣がどちらも磁場と逆の分子場を作るので、$k_{\mathrm B}\theta=(z_1J_1+z_2J_2)S(S+1)/3$ になる。一方、秩序では第2近接は同じ副格子なので平均は自分と同じ向きで、第1近接と逆向きの寄与になり、$k_{\mathrm B} T_{\mathrm N}=(z_1J_1-z_2J_2)S(S+1)/3$ になる。比

$$\frac{\theta}{T_{\mathrm N}}=\frac{z_1J_1+z_2J_2}{z_1J_1-z_2J_2}\tag{5.3.16}$$

は1より大きく、同じ副格子の中の結合が秩序を妨げる度合い（フラストレーション）の目安になる。

秩序の下の帯磁率：垂直と平行

$T<T_{\mathrm N}$ では、秩序の軸（ここでは $z$）に対して磁場の向きが2通りある。

垂直な磁場（$\bm{B}=B\bm{e}_x$）では、2つの副格子の平均が大きさ $\sigma_0$ を保ったまま、磁場と逆向きにわずかに傾く。$\langle \bm{S}_A \rangle =\sigma_0(-\sin\varphi,0,-\cos\varphi)$、$\langle \bm{S}_B \rangle =\sigma_0(-\sin\varphi,0,+\cos\varphi)$ と置くと、式 (5.3.13) の A の有効な場は$\bm{h}_A=(g\mu_{\mathrm B}B-zJ\sigma_0\sin\varphi,\ 0,\ zJ\sigma_0\cos\varphi)$ である。$\langle \bm{S}_A \rangle$ は $\bm{h}_A$ と逆向きなので、$x$ 成分と $z$ 成分の比をそろえて

$$\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{g\mu_{\mathrm B}B-zJ\sigma_0\sin\varphi}{zJ\sigma_0\cos\varphi} \quad\Longrightarrow\quad \sin\varphi=\frac{g\mu_{\mathrm B}B}{2zJ\sigma_0}$$

を得る。一様な磁化は $M=ng\mu_{\mathrm B}\sigma_0\sin\varphi=ng^2\mu_{\mathrm B}^2B/(2zJ)$ で、

$$\chi_\perp=\frac{\mu_0ng^2\mu_{\mathrm B}^2}{2zJ}\tag{5.3.17}$$

は $\sigma_0$ にも温度にもよらない。傾けることで得る Zeeman のエネルギーと、副格子どうしの角度が開くことで損する交換のエネルギーの釣り合いが、副格子の磁化の大きさと無関係に決まるからである。$T=T_{\mathrm N}$ では式 (5.3.14) が $C/(2T_{\mathrm N})$ を与え、式 (5.3.8) の形の $C$ と $T_{\mathrm N}$ を入れると式 (5.3.17) と一致する。$\chi_\perp$ は高温の帯磁率に連続につながる。

平行な磁場（$\bm{B}=B\bm{e}_z$）では、各副格子の磁化の大きさが変わる。A・B の $\langle -S^z \rangle$ がどちらも $\delta\sigma$ だけずれるとし、1次まで展開すると$\delta\sigma=S^2\beta B_S'(x_0)\,(g\mu_{\mathrm B}B-zJ\delta\sigma)$（$x_0=\beta SzJ\sigma_0$）で、

$$\chi_\parallel=\mu_0ng^2\mu_{\mathrm B}^2\frac{S^2\beta B_S'(x_0)}{1+zJS^2\beta B_S'(x_0)}\tag{5.3.18}$$

となる。$T\to0$ では $B_S'(x_0)$ が $\mathrm{e}^{-x_0/S}$ の速さで 0 になるので $\chi_\parallel\to0$ である。完全にそろった副格子は磁場の向きの成分をもうそれ以上変えられない。$T=T_{\mathrm N}$ では $x_0=0$、$B_S'(0)=(S+1)/(3S)$ を入れると $\chi_\parallel=\chi_\perp$ になる。