授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第3章 §5.3.6　★★ 授業の分子場 $\bm{B}_{\mathrm m}=\lambda\bm{M}$・全角運動量 $J$ と Landé の $g_J$・$-2J\,\bm{S}_i\cdot\bm{S}_j$ の流儀を、この章の式と並べる。4f の希土類では交換がスピンの部分にだけかかるので、de Gennes 因子 $(g_J-1)^2J(J+1)$ が転移温度を決める

分子場 $\lambda M$

学部の授業では、Weiss の理論を「各原子は外の磁場に加えて磁化に比例する分子場 $B_{\mathrm m}=\lambda_BM$ を感じる」と書くことが多い。相互作用のない原子の集まりの磁化を$M=\frac{C}{\mu_0T}B$ とし、$B$ を $B+\lambda_BM$ に置き換えて $M$ について解くと、$\chi_{\mathrm m}=C/(T-\theta)$、$\theta=C\lambda_B/\mu_0$ が出る。この章の式 (5.3.4) の分子場は $g\mu_{\mathrm B}B_{\mathrm m}=z\lvert J\rvert \sigma$、$M=ng\mu_{\mathrm B}\sigma$ なので

$$\lambda_B=\frac{z\lvert J\rvert }{ng^2\mu_{\mathrm B}^2},\qquad\theta=\frac{C\lambda_B}{\mu_0}=\frac{z\lvert J\rvert S(S+1)}{3 k_{\mathrm B}}=T_{\mathrm c}\tag{5.3.24}$$

である。授業の $\lambda_B$ は現象論の定数だが、Heisenberg 模型では $z\lvert J\rvert$ という微視的な量になる。

全角運動量と Landé の $g$ 因子

授業では、磁性イオンの磁気モーメントを全角運動量 $\bm{J}=\bm{L}+\bm{S}$ と Landé の因子$g_J=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}$ で $\bm{\mu}=-g_J\mu_{\mathrm B}\bm{J}$ と書き、Brillouin 関数を $B_J$、有効磁子数を $p_{\mathrm{eff}}=g_J\sqrt{J(J+1)}$ と書く。3d の遷移金属のイオンでは軌道が結晶場で消えるので $L=0$、$J=S$、$g_J=2$ とおけ、この章の式そのものになる。4f の希土類では軌道が残るので、Zeeman の項は $g_J\mu_{\mathrm B}\bm{J}\cdot\bm{B}$ になる。一方、交換相互作用は電子のスピンどうしの結合なので $\bm{S}$ にだけかかる。1つの $J$ の多重項の中では、Wigner–Eckart の定理から $\bm{S}$ は $\bm{J}$ に比例し、$\bm{S}=(g_J-1)\bm{J}$ と置き換えられる（$\bm{J}$ への射影）。したがって交換は $J_{\mathrm{ex}}(g_J-1)^2\bm{J}_i\cdot\bm{J}_j$ となり、平均場の転移温度は

$$k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}=\frac{z\lvert J_{\mathrm{ex}}\rvert }{3}(g_J-1)^2J(J+1)\tag{5.3.25}$$

に比例する。$(g_J-1)^2J(J+1)$ を de Gennes 因子と呼ぶ。

交換の係数の流儀

授業や教科書によっては、Heisenberg 模型を $H=-2J'\sum_{\langle ij \rangle }\bm{S}_i\cdot\bm{S}_j$ と書き、$J'>0$ を強磁性とする。この章の $J$ とは $J=-2J'$ の関係にある。その流儀では1次元の強磁性のマグノンは $\hbar\omega=4J'S(1-\cos ka)$ で、式 (5.3.20) の $z=2$、$\lvert J\rvert =2J'$ の場合と一致する。組を2回数える流儀（$\sum_{i\ne j}$）もあるので、$J$ の数値を他の文献から借りるときは、係数の 2 と組の数え方の両方を確かめる必要がある。

反強磁性の授業の扱いは、この章の5.3.3節とほぼ同じ形で、2つの副格子の分子場 $B_A=-\lambda M_B$ から $T_{\mathrm N}=\theta$ と $\chi_\perp=1/\lambda$（SI の係数を除く）を出す。この章の式 (5.3.17) は、その $\lambda$ を $2zJ/(ng^2\mu_{\mathrm B}^2)$ と微視的に書いたものである。