この章のまとめ

(1) 原子2個・電子2個の Hubbard 模型は第1部第1章の総合問題で厳密に解き、$t\ll U$ で一重項と三重項の差が $J=4t^2/U$ になることを示した。第5部第2章はこれに隣の原子との Coulomb の項 $V$・$K$ を足した厳密な形を与えたので、そこで $V=K=0$ と置けば厳密な $J=-U/2+\sqrt{U^2/4+4t^2}$ が得られる。$t=0.25\,\mathrm{eV}$、$U=5\,\mathrm{eV}$ では $4t^2=0.25\,\mathrm{eV^2}$ で、厳密な値は $J=-2.5\,\mathrm{eV}+\sqrt{6.5}\,\mathrm{eV}=49.5\,\mathrm{meV}$、近似の値は $J=4t^2/U=4\times0.0625/5\,\mathrm{eV}=50\,\mathrm{meV}$ である。両者の差は $1\%$ で、$t/U=0.05$ が十分小さいので2次の摂動がよく合う。以下の小問では $J=50\,\mathrm{meV}$ を使う。この $1\%$ の差は、平均場が揺らぎを捨てることによる誤差（(2) の末尾）よりずっと小さい。

(2) 式 (5.3.15) から $k_{\mathrm B} T_{\mathrm N}=zJS(S+1)/3=6\times50\times\frac34/3\,\mathrm{meV}=75\,\mathrm{meV}$ で、$T_{\mathrm N}=\theta=870\,\mathrm K$。式 (5.3.17) を1 mol あたりにして $\chi_\perp=\mu_0N_{\mathrm A}g^2\mu_{\mathrm B}^2/(2zJ)=2.71\times10^{-9}\,\mathrm{m^3\,mol^{-1}}$。平均場は揺らぎを捨てるので、実際の $T_{\mathrm N}$ はこれより低い。

(3) 小さい $k$ で $\hbar\omega\approx2\sqrt3\,JSka$ なので $\hbar v=2\sqrt3\,JSa=2\times1.732\times50\times0.5\times0.4\,\mathrm{meV\,nm}=34.6\,\mathrm{meV\,nm}$、$v=\hbar v/\hbar=5.26\times10^4\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ で、固体の音速の約10倍である。帯の上端は $\gamma_{\bm{k}}=0$ の面で $\hbar\omega=zJS=0.15\,\mathrm{eV}$ になる。

(4) 単純立方では $\Delta S=0.078$ で、副格子の磁化は $\langle S^z \rangle =0.422$（完全な値の 84%）。中性子の磁気の Bragg 反射の強さはこの2乗に比例する。層の中の正方格子だけなら、$T=0$ では $\Delta S=0.197$ で秩序は残り（0.303）、$T>0$ では熱のマグノンの数が $\int\mathrm{d}^2k\, k_{\mathrm B} T/(\hbar vk)^2$ の形で対数発散するので、Mermin–Wagner の定理のとおり秩序は消える。実際の層状の物質では、層の間のわずかな結合や異方性がこの発散を止め、物質は有限の $T_{\mathrm N}$ を持つ。

(5) 平均場の1次の式に入るのは $\langle (S^z)^2 \rangle =S(S+1)/3$ だけで、これは Ising 型でも Heisenberg 型でも同じなので、平均場の $T_{\mathrm N}$ は変わらない。$S=1/2$ では $S(S+1)/3=S^2=1/4$ なので、$s=\pm1$ の Ising 模型 $J_{\mathrm I}\sum s_is_j$ に $J_{\mathrm I}=J/4$ と対応させると、解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第7章の $k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}=zJ_{\mathrm I}=zJ/4$ と一致する。違いは平均場が捨てた揺らぎに現れる。Ising 型ではスピンを倒すのに有限のエネルギーがかかり、マグノンにギャップがあるので、2次元でも有限温度の秩序がある（正方格子の Onsager の解）。Heisenberg 型では $k\to0$ でエネルギーが 0 に下がるマグノンがあり、低温の磁化は $T^{3/2}$（3次元の強磁性）で減り、2次元では有限温度の秩序が無い。