出てくるもの (3)：臨界指数と普遍性

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第11章 §5.11.5　★★★ 固定点のまわりで自由エネルギーは $f_{\mathrm s}(t,h)=\mathrm{e}^{-d\ell}f_{\mathrm s}(\mathrm{e}^{y_t\ell}t,\mathrm{e}^{y_h\ell}h)$ を満たす。そこから6つの指数がすべて $y_t,y_h$ の2つで決まり、4つのスケーリング則が出る

特異部分の同次性

臨界点の近くの自由エネルギー密度（$k_{\mathrm B} T$ で割ったもの）を、解析的な部分と特異な部分 $f_{\mathrm s}$ に分ける。くりこみ群の変換は $Z$ を変えないので、$\ell$ だけ進めると体積が $\mathrm{e}^{-d\ell}$ 倍になる分、1体積あたりの自由エネルギーは $\mathrm{e}^{d\ell}$ 倍になる。固定点のまわりで、温度と外場の方向の成分は$t\to\mathrm{e}^{y_t\ell}t$、$h\to\mathrm{e}^{y_h\ell}h$ と変わるので

$$f_{\mathrm s}(t,h)=\mathrm{e}^{-d\ell}f_{\mathrm s}(\mathrm{e}^{y_t\ell}t,\mathrm{e}^{y_h\ell}h)\tag{5.11.20}$$

が成り立つ。$\mathrm{e}^{y_t\ell}\lvert t\rvert =1$ と選ぶと $f_{\mathrm s}(t,h)=\lvert t\rvert ^{d/y_t}\Phi\bigl(h/\lvert t\rvert ^{y_h/y_t}\bigr)$ となり、関数 $\Phi$ は1変数の関数である。

外場 $h$ は $\phi$ に結合する（作用に $-h\int\phi$ を足す）ので、$y_h$ は $\phi$ の次元で決まる。$[\phi]=(d-2+\eta)/2$ と書くと $y_h=d-[\phi]=(d+2-\eta)/2$ で、1ループでは $\eta=0$、$y_h=(d+2)/2=3-\epsilon/2$ である。

6つの指数

式 (5.11.20) を微分すると、指数がすべて決まる。比熱は $\partial^2f_{\mathrm s}/\partial t^2\propto\lvert t\rvert ^{d/y_t-2}$、磁化は $\partial f_{\mathrm s}/\partial h\propto\lvert t\rvert ^{(d-y_h)/y_t}$、磁化率は $\partial^2f_{\mathrm s}/\partial h^2\propto\lvert t\rvert ^{(d-2y_h)/y_t}$、$t=0$ では $f_{\mathrm s}\propto h^{d/y_h}$ から $m\propto h^{(d-y_h)/y_h}$ である。第3部第10章の定義と並べて

$$\alpha=2-\frac{d}{y_t},\quad \beta_{\mathrm{exp}}=\frac{d-y_h}{y_t},\quad \gamma=\frac{2y_h-d}{y_t},\quad \delta=\frac{y_h}{d-y_h},\quad \nu=\frac{1}{y_t},\quad \eta=d+2-2y_h\tag{5.11.21}$$

を得る。ここに 1 ループの $y_t=2-\epsilon/3$、$y_h=3-\epsilon/2$ を入れて $\epsilon$ の1次まで展開すると

$$\alpha=\frac{\epsilon}{6},\quad \beta_{\mathrm{exp}}=\frac12-\frac{\epsilon}{6},\quad \gamma=1+\frac{\epsilon}{6},\quad \delta=3+\epsilon,\quad \nu=\frac12+\frac{\epsilon}{12},\quad \eta=0\tag{5.11.22}$$

になる。$\epsilon=0$（$d=4$）では Gauss 固定点の $y_t=2$、$y_h=3$ から平均場の値 $(0,\frac12,1,3,\frac12,0)$ が出る。表 5.11.2 に3つを並べる。

$\epsilon=1$ は小さいパラメータとは言いがたいが、1次の項だけで、$\eta$ を除く5つの指数が平均場の値から3次元 Ising の値の向きへ動き、$\alpha$ 以外では差の半分以上に達する（$\alpha$ は行き過ぎる）。図 5.11.3 に $\nu$ を次元 $d$ の関数として示す。

2次元 Ising の値は L. Onsager (1944), Phys. Rev. 65, 117 の厳密解による（$\nu=1$、$\alpha=0$ は比熱の対数発散）。

普遍性

式 (5.11.21) の指数は、固定点での $y_t,y_h$ だけで決まり、出発点の作用の細部（$\Lambda$、$u$ の値、$\phi^6$ の係数、格子の形）によらない。細部の違いは irrelevant な方向の成分で、変換を繰り返すと $\mathrm{e}^{y\ell}$（$y<0$）で消えていくからである。同じ固定点に流れ込む系は同じ指数を持ち、これを普遍性クラスと呼ぶ。何が普遍性クラスを決めるかは、固定点の位置と relevant な方向の数を決めるもの、すなわち空間の次元 $d$ と秩序変数の成分の数・対称性である。一軸の磁性体と液体・気体の臨界点は、どちらも1成分で $\phi\to-\phi$ の対称性（液体・気体では臨界点の近くでだけ現れる近似的な対称性）を持つので、3次元 Ising の普遍性クラスに属する。