出てくるもの (1)：1ループの再帰式と Wilson–Fisher 不動点

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第11章 §5.11.3　★★★ 殻の積分を $\lambda$ の2次まで行うと $r$ と $u$ の流れが閉じる。$d<4$ で Gauss の固定点は不安定になり、$u^*=2\epsilon/3$ の新しい固定点で $\nu=\frac12+\frac{\epsilon}{12}$

殻の積分

相互作用 $S_{\mathrm{int}}=\frac{\lambda}{4!}\int\phi^4$ を $\lambda$ について展開して式 (5.11.6) を計算する。$\phi_>$ だけの Gauss 積分の期待値を$\langle \cdot \rangle _>$ と書くと、キュムラント展開で

$$S'_{\mathrm E}[\phi_<]=S_0[\phi_<]+\langle S_{\mathrm{int}} \rangle _>-\frac12\bigl(\langle S_{\mathrm{int}}^2 \rangle _>-\langle S_{\mathrm{int}} \rangle _>^2\bigr)+\mathcal{O}(\lambda^3)+(\text{定数})\tag{5.11.10}$$

である。$\phi_>$ の伝播関数は $\langle \tilde\phi_>(k)\tilde\phi_>(k') \rangle _>=(2\pi)^d\delta^{(d)}(k+k')/(k^2+r)$ で、第5部第7章の Wick の定理で期待値を組み合わせに分ける。

$\phi^4=(\phi_<+\phi_>)^4$ のうち、$\phi_>$ について2次の項は $6\phi_<^2\phi_>^2$ である。1次の項 $\langle S_{\mathrm{int}} \rangle _>$ からは$\frac{\lambda}{4!}\cdot6\,\phi_<^2\langle \phi_>^2 \rangle _>$ が出て、これは $\phi_<^2$ の係数を変える。$\langle \phi_>(x)^2 \rangle _>=\int_{\mathrm{shell}}\frac{\mathrm{d}^dk}{(2\pi)^d}\frac{1}{k^2+r}\eqqcolon I$ と書くと

$$\frac12\,\Delta r\,\phi_<^2=\frac{\lambda}{4}I\,\phi_<^2,\qquad \Delta r=\frac{\lambda}{2}I.$$

2次の項からは、$x$ と $y$ の2点の $\phi_<^2\phi_>^2$ どうしの $\phi_>$ を2本ずつつないだ寄与 $-\frac12(\frac{\lambda}{4})^2\cdot2\int\!\!\int\phi_<^2(x)\phi_<^2(y)G_>(x-y)^2$ が出る。$G_>$ は殻の波数だけでできているので、$\lvert x-y\rvert \sim1/\Lambda$ の範囲で減衰する。この範囲で $\phi_<$ はほとんど変わらないので $\phi_<^2(y)\approx\phi_<^2(x)$ と置き（局所近似）、$\int G_>(z)^2\mathrm{d}^dz=\int_{\mathrm{shell}}\frac{\mathrm{d}^dk}{(2\pi)^d}\frac{1}{(k^2+r)^2}\eqqcolon J$ を使うと、$\phi_<^4$ の係数の変化は $\Delta\lambda/4!=-\frac{\lambda^2}{16}J$、すなわち

$$\Delta r=\frac{\lambda}{2}\,I,\qquad \Delta\lambda=-\frac32\lambda^2J\tag{5.11.11}$$

を得る。$\Delta r$ は第5部第8章の「おたまじゃくし」の図、$\Delta\lambda$ は3つのチャネルの「泡」の図を、殻の運動量だけで計算したものである。同じ組み合わせから $\phi_<^6$ の項や $\phi_<^2(\nabla\phi_<)^2$ の項も現れるが、それらは式 (5.11.7) で $y<0$ の係数で、次の節の固定点では $\epsilon^2$ の大きさにとどまるので捨てる。1ループでは勾配の項の係数は変わらない（$I$ が外の運動量によらない）ので、$\zeta$ は相互作用の無いときと同じ $\mathrm{e}^{(d-2)\Delta\ell/2}$ でよい。

流れの方程式

殻が薄いとき $\int_{\mathrm{shell}}\frac{\mathrm{d}^dk}{(2\pi)^d}f(\lvert k\rvert )=K_d\Lambda^df(\Lambda)\,\Delta\ell$、$K_d\coloneqq\frac{S_d}{(2\pi)^d}=\frac{2}{(4\pi)^{d/2}\Gamma(d/2)}$（$S_d$ は単位球面の面積。$K_4=1/(8\pi^2)$、$K_3=1/(2\pi^2)$）である。式 (5.11.11) に尺度の取り替え（式 (5.11.7) の $\mathrm{e}^{2\Delta\ell}$ と $\mathrm{e}^{\epsilon\,\Delta\ell}$）を合わせ、$\Lambda$ を単位にした無次元の量$\bar r\coloneqq r/\Lambda^2$、$u\coloneqq K_d\lambda\Lambda^{-\epsilon}$ で書くと

$$\frac{\mathrm{d} \bar r}{\mathrm{d} \ell}=2\bar r+\frac{u}{2(1+\bar r)},\qquad \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} \ell}=\epsilon u-\frac{3u^2}{2(1+\bar r)^2}\tag{5.11.12}$$

になる。これが1ループの再帰式である。これ以降は $\bar r$ の上の棒を省いて $r$ と書く。

2つの固定点

式 (5.11.12) の固定点は2つある。1つは $(r^*,u^*)=(0,0)$ で、相互作用の無い理論である（Gauss 固定点）。ここでの行列 $M$ は上三角で、固有値は $2$ と $\epsilon$ である。$d>4$（$\epsilon<0$）では $u$ の方向は固定点に近づき、Gauss 固定点が臨界点を支配する。そこでの指数は平均場の値になり、第3部第10章で Ginzburg の判定条件が $d>4$ で Landau 理論を支持したことと一致する。$d<4$ では $u$ の方向も外へ流れ出し、Gauss 固定点は臨界点を支配することができない。

もう1つの固定点は $u\neq0$ のもので、$\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} \ell}=0$ から $u^*=\frac{2\epsilon}{3}(1+r^*)^2$、これを $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \ell}=0$ に入れて

$$r^*=-\frac{\epsilon}{6+\epsilon}=-\frac{\epsilon}{6}+\mathcal{O}(\epsilon^2),\qquad u^*=\frac{2\epsilon}{3}+\mathcal{O}(\epsilon^2)\tag{5.11.13}$$

を得る。これを Wilson–Fisher 固定点と呼ぶ¹1K. G. Wilson, M. E. Fisher (1972), Phys. Rev. Lett. 28, 240。下の脚注へ閉じる。$\epsilon>0$ で $u^*>0$ となり、物理的に意味のある（$\phi^4$ の係数が正で重みが積分できる）領域に入る。$u^*$ が $\epsilon$ に比例して小さいことが、$\lambda$ についての展開を$\epsilon$ についての展開として正当化する根拠になる。

固定点のまわりの行列 $M$ を $\epsilon$ の1次まで求める。

$$M=\begin{pmatrix}2-\dfrac{u^*}{2(1+r^*)^2}&\dfrac{1}{2(1+r^*)}\\[8pt]\dfrac{3u^{*2}}{(1+r^*)^3}&\epsilon-\dfrac{3u^*}{(1+r^*)^2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2-\dfrac{\epsilon}{3}&\dfrac12\\[4pt]\mathcal{O}(\epsilon^2)&-\epsilon\end{pmatrix}+\mathcal{O}(\epsilon^2).$$

左下が $\epsilon^2$ の大きさなので、固有値は対角成分で $\epsilon$ の1次まで決まり

$$y_t=2-\frac{\epsilon}{3},\qquad y_u=-\epsilon,\qquad \nu=\frac{1}{y_t}=\frac12+\frac{\epsilon}{12}+\mathcal{O}(\epsilon^2)\tag{5.11.14}$$

になる。Wilson–Fisher 固定点には relevant な方向が1つ（温度）しかなく、$u$ の方向は固定点に近づく。したがって、臨界温度を1つ合わせるだけで、どの $u>0$ から出発しても同じ固定点に行き着く。図 5.11.1 にこの流れを示す。

固定点の $r^*$ が負であることにも意味がある。$r$ は Landau 理論の $a/\kappa\propto T-T_{\mathrm c}^{(0)}$ なので、臨界点 $r=r^*<0$ は Landau 理論の転移温度より低い。揺らぎが秩序を壊す向きに働き、本当の転移温度 $T_{\mathrm c}$ は $T_{\mathrm c}^{(0)}$ より下がる。これは非普遍的な量で、$\Lambda$ や $u$ の出発点に依存する。

1　K. G. Wilson, M. E. Fisher (1972), Phys. Rev. Lett. 28, 240。