解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部 第11章 §5.11.2 ★★★ 短い波長の揺らぎを積分して消し、長さの尺度を戻す。この2段の操作で作用の係数が流れ、固定点とそのまわりの固有値が長距離の振る舞いを決める
一部の変数を積分して消す
第3部第3章 のカノニカル分布で、変数を2組 ( X , Y ) (X,Y) ( X , Y ) Y Y Y X X X
e − β H e f f ( X ) ≔ ∫ d Y e − β H ( X , Y ) \mathrm{e}^{-\beta H_{\mathrm{eff}}(X)}\coloneqq\int\mathrm{d} Y\,\mathrm{e}^{-\beta H(X,Y)} e − β H eff ( X ) : = ∫ d Y e − β H ( X , Y )
で定めた H e f f H_{\mathrm{eff}} H eff Z = ∫ d X e − β H e f f ( X ) Z=\int\mathrm{d} X\,\mathrm{e}^{-\beta H_{\mathrm{eff}}(X)} Z = ∫ d X e − β H eff ( X ) Z Z Z X X X H H H H e f f H_{\mathrm{eff}} H eff
Wilson は、この操作を場の Fourier 成分に当てた1 1 K. G. Wilson (1971), Phys. Rev. B 4 , 3174; 3184。ブロックスピンの考え方は L. P. Kadanoff (1966), Physics 2 , 263。ϕ ( x ) = ∫ ∣ k ∣ < Λ d d k ( 2 π ) d ϕ ~ ( k ) e i k ⋅ x \phi(x)=\int_{\lvert k\rvert <\Lambda}\frac{\mathrm{d}^dk}{(2\pi)^d}\tilde\phi(k)\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\cdot x} ϕ ( x ) = ∫ ∣ k ∣ < Λ ( 2 π ) d d d k ϕ ~ ( k ) e i k ⋅ x Λ e − Δ ℓ < ∣ k ∣ < Λ \Lambda\mathrm{e}^{-\Delta\ell}<\lvert k\rvert <\Lambda Λ e − Δ ℓ < ∣ k ∣ < Λ ϕ > \phi_> ϕ > ϕ < \phi_< ϕ < ϕ = ϕ < + ϕ > \phi=\phi_<+\phi_> ϕ = ϕ < + ϕ >
e − S E ′ [ ϕ < ] ≔ ∫ D ϕ > e − S E [ ϕ < + ϕ > ] (5.11.6) \mathrm{e}^{-S'_{\mathrm E}[\phi_<]}\coloneqq\int\mathcal D\phi_>\,\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}[\phi_<+\phi_>]}\tag{5.11.6} e − S E ′ [ ϕ < ] : = ∫ D ϕ > e − S E [ ϕ < + ϕ > ] ( 5.11.6 )
と定める。ϕ < \phi_< ϕ < Λ e − Δ ℓ \Lambda\mathrm{e}^{-\Delta\ell} Λ e − Δ ℓ S E ′ S'_{\mathrm E} S E ′ S E ′ S'_{\mathrm E} S E ′
尺度を戻す
S E ′ S'_{\mathrm E} S E ′ S E S_{\mathrm E} S E Λ \Lambda Λ e ℓ \mathrm{e}^{\ell} e ℓ Δ ℓ \Delta\ell Δ ℓ x ′ = e − Δ ℓ x x'=\mathrm{e}^{-\Delta\ell}x x ′ = e − Δ ℓ x k ′ = e Δ ℓ k k'=\mathrm{e}^{\Delta\ell}k k ′ = e Δ ℓ k ϕ ′ ( x ′ ) = ζ ϕ < ( x ) \phi'(x')=\zeta\,\phi_<(x) ϕ ′ ( x ′ ) = ζ ϕ < ( x ) 1 2 \frac12 2 1 くりこみ群の変換 と呼ぶ。1回の変換で、係数 ( r , λ , g 6 , … ) (r,\lambda,g_6,\dots) ( r , λ , g 6 , … ) ( r ′ , λ ′ , g 6 ′ , … ) (r',\lambda',g_6',\dots) ( r ′ , λ ′ , g 6 ′ , … )
積分する前の段階で、相互作用が無い（λ = 0 \lambda=0 λ = 0 ϕ < \phi_< ϕ < ϕ > \phi_> ϕ > ∫ d d x ( ∇ ϕ < ) 2 = e ( d − 2 ) Δ ℓ ∫ d d x ′ ( ∇ ′ ϕ < ) 2 \int\mathrm{d}^dx\,(\nabla\phi_<)^2=\mathrm{e}^{(d-2)\Delta\ell}\int\mathrm{d}^dx'\,(\nabla'\phi_<)^2 ∫ d d x ( ∇ ϕ < ) 2 = e ( d − 2 ) Δ ℓ ∫ d d x ′ ( ∇ ′ ϕ < ) 2 ζ = e ( d − 2 ) Δ ℓ / 2 \zeta=\mathrm{e}^{(d-2)\Delta\ell/2} ζ = e ( d − 2 ) Δ ℓ /2 ϕ n \phi^n ϕ n e d Δ ℓ ζ − n \mathrm{e}^{d\Delta\ell}\zeta^{-n} e d Δ ℓ ζ − n
g n ′ = e y n Δ ℓ g n , y n = d − n d − 2 2 (5.11.7) g_n'=\mathrm{e}^{y_n\Delta\ell}g_n,\qquad y_n=d-n\,\frac{d-2}{2}\tag{5.11.7} g n ′ = e y n Δ ℓ g n , y n = d − n 2 d − 2 ( 5.11.7 )
になる。指数 y n y_n y n (5.11.4) の係数の次元そのものである。y n > 0 y_n>0 y n > 0 relevant ）、y n < 0 y_n<0 y n < 0 irrelevant ）。y n = 0 y_n=0 y n = 0 d = 4 d=4 d = 4 λ \lambda λ marginal と呼ぶ。変換を連続的に繰り返したときの係数の変化を
d g i d ℓ = B i ( g ) (5.11.8) \frac{\mathrm{d} g_i}{\mathrm{d} \ell}=B_i(g)\tag{5.11.8} d ℓ d g i = B i ( g ) ( 5.11.8 )
と書き、ℓ \ell ℓ ℓ \ell ℓ
固定点と固有値
B i ( g ∗ ) = 0 B_i(g^*)=0 B i ( g ∗ ) = 0 g ∗ g^* g ∗ 固定点 と呼ぶ。固定点では、変換しても作用が変わらないので、長さの尺度を変えても同じ姿の理論である。一方、相関長は長さなので、1回の変換で ξ ′ = e − Δ ℓ ξ \xi'=\mathrm{e}^{-\Delta\ell}\xi ξ ′ = e − Δ ℓ ξ ξ ′ = ξ \xi'=\xi ξ ′ = ξ ξ \xi ξ 0 0 0 ∞ \infty ∞ ξ = ∞ \xi=\infty ξ = ∞
固定点のまわりで g = g ∗ + Δ g g=g^*+\Delta g g = g ∗ + Δ g (5.11.8) を1次まで展開すると d Δ g i d ℓ = ∑ j M i j Δ g j \frac{\mathrm{d} \Delta g_i}{\mathrm{d} \ell}=\sum_jM_{ij}\Delta g_j d ℓ d Δ g i = ∑ j M ij Δ g j M i j = ∂ B i / ∂ g j ∣ g ∗ M_{ij}=\partial B_i/\partial g_j|_{g^*} M ij = ∂ B i / ∂ g j ∣ g ∗ M M M y 1 , y 2 , … y_1,y_2,\dots y 1 , y 2 , … e y i ℓ \mathrm{e}^{y_i\ell} e y i ℓ y t y_t y t t t t ξ ( t ) = e ℓ ξ ( e y t ℓ t ) \xi(t)=\mathrm{e}^{\ell}\xi(\mathrm{e}^{y_t\ell}t) ξ ( t ) = e ℓ ξ ( e y t ℓ t ) e y t ℓ ∣ t ∣ = 1 \mathrm{e}^{y_t\ell}\lvert t\rvert =1 e y t ℓ ∣ t ∣ = 1
ξ ∝ ∣ t ∣ − 1 / y t , ν = 1 y t (5.11.9) \xi\propto\lvert t\rvert ^{-1/y_t},\qquad \nu=\frac{1}{y_t}\tag{5.11.9} ξ ∝ ∣ t ∣ − 1/ y t , ν = y t 1 ( 5.11.9 )
を得る。臨界指数は、固定点のまわりでの流れの固有値で決まる。
Hamilton の流れとの違い
式 (5.11.8) は、第1部第9章 の生成子が作る流れと同じく、ベクトル場で決まる1径数の写像である。ただし、Hamilton の流れは時間を逆向きにたどることができ、第3部第1章 の Liouville の定理のとおり相空間の体積を保つ。くりこみ群の変換は、積分して消した ϕ > \phi_> ϕ >
例題 5.11.2 1次元 Ising 模型の間引き ★★★
オリジナル 1次元の Ising 模型 β H = − K ∑ i s i s i + 1 \beta H=-K\sum_is_is_{i+1} β H = − K ∑ i s i s i + 1 s i = ± 1 s_i=\pm1 s i = ± 1 K = β J K=\beta J K = β J
(1) s 1 , s 3 s_1,s_3 s 1 , s 3 s 2 s_2 s 2 ∑ s 2 e K s 2 ( s 1 + s 3 ) = A e K ′ s 1 s 3 \sum_{s_2}\mathrm{e}^{Ks_2(s_1+s_3)}=A\,\mathrm{e}^{K's_1s_3} ∑ s 2 e K s 2 ( s 1 + s 3 ) = A e K ′ s 1 s 3 K ′ K' K ′ A A A K K K (2) tanh K ′ = tanh 2 K \tanh K'=\tanh^2K tanh K ′ = tanh 2 K K = 1 K=1 K = 1 K K K (3) 1次元 Ising 模型の相関長（格子間隔を単位にしたもの）は ξ ( K ) = − 1 / ln tanh K \xi(K)=-1/\ln\tanh K ξ ( K ) = − 1/ ln tanh K ξ ( K ′ ) = ξ ( K ) / 2 \xi(K')=\xi(K)/2 ξ ( K ′ ) = ξ ( K ) /2 K = 1 K=1 K = 1 (4) 固定点をすべて求め、それぞれ安定か不安定かを答えよ。有限の温度で相転移が起きないことを、この流れから説明せよ。
解答 (1) s 1 = s 3 s_1=s_3 s 1 = s 3 2 cosh 2 K 2\cosh2K 2 cosh 2 K s 1 = − s 3 s_1=-s_3 s 1 = − s 3 2 2 2 A e K ′ A\mathrm{e}^{K'} A e K ′ A e − K ′ A\mathrm{e}^{-K'} A e − K ′ e 2 K ′ = cosh 2 K \mathrm{e}^{2K'}=\cosh2K e 2 K ′ = cosh 2 K A 2 = 4 cosh 2 K A^2=4\cosh2K A 2 = 4 cosh 2 K K ′ = 1 2 ln cosh 2 K K'=\frac12\ln\cosh2K K ′ = 2 1 ln cosh 2 K A = 2 cosh 2 K A=2\sqrt{\cosh2K} A = 2 cosh 2 K ln A \ln A ln A K = 1 K=1 K = 1 ln 2 + 1 2 ln cosh 2 = 1.3556 \ln2+\frac12\ln\cosh2=1.3556 ln 2 + 2 1 ln cosh 2 = 1.3556
(2) tanh K ′ = e 2 K ′ − 1 e 2 K ′ + 1 = cosh 2 K − 1 cosh 2 K + 1 = 2 sinh 2 K 2 cosh 2 K = tanh 2 K \tanh K'=\dfrac{\mathrm{e}^{2K'}-1}{\mathrm{e}^{2K'}+1}=\dfrac{\cosh2K-1}{\cosh2K+1}=\dfrac{2\sinh^2K}{2\cosh^2K}=\tanh^2K tanh K ′ = e 2 K ′ + 1 e 2 K ′ − 1 = cosh 2 K + 1 cosh 2 K − 1 = 2 cosh 2 K 2 sinh 2 K = tanh 2 K K = 1 K=1 K = 1 K ′ = 0.6625 K'=0.6625 K ′ = 0.6625 K ′ ′ = 0.3501 K''=0.3501 K ′′ = 0.3501 K ′ ′ ′ = 0.1137 K'''=0.1137 K ′′′ = 0.1137
(3) ξ ( K ′ ) = − 1 / ln tanh 2 K = − 1 / ( 2 ln tanh K ) = ξ ( K ) / 2 \xi(K')=-1/\ln\tanh^2K=-1/(2\ln\tanh K)=\xi(K)/2 ξ ( K ′ ) = − 1/ ln tanh 2 K = − 1/ ( 2 ln tanh K ) = ξ ( K ) /2 (5.11.7) の前で述べた ξ ′ = e − Δ ℓ ξ \xi'=\mathrm{e}^{-\Delta\ell}\xi ξ ′ = e − Δ ℓ ξ e Δ ℓ = 2 \mathrm{e}^{\Delta\ell}=2 e Δ ℓ = 2 K = 1 K=1 K = 1 tanh 1 = 0.7616 \tanh1=0.7616 tanh 1 = 0.7616 ξ = 3.672 \xi=3.672 ξ = 3.672 ξ ( K ′ ) = 1.836 \xi(K')=1.836 ξ ( K ′ ) = 1.836
(4) tanh K ∗ = tanh 2 K ∗ \tanh K^*=\tanh^2K^* tanh K ∗ = tanh 2 K ∗ tanh K ∗ = 0 \tanh K^*=0 tanh K ∗ = 0 1 1 1 K ∗ = 0 K^*=0 K ∗ = 0 K ∗ = ∞ K^*=\infty K ∗ = ∞ 0 < tanh K < 1 0<\tanh K<1 0 < tanh K < 1 tanh 2 K < tanh K \tanh^2K<\tanh K tanh 2 K < tanh K K K K 0 0 0 K ∗ = 0 K^*=0 K ∗ = 0 K ∗ = ∞ K^*=\infty K ∗ = ∞ ξ = ∞ \xi=\infty ξ = ∞ K = ∞ K=\infty K = ∞ K K K ξ < ∞ \xi<\infty ξ < ∞ K = 0 K=0 K = 0 第3部第7章 で平均場近似が1次元でも相転移を予言したのと対照的である。
1 K. G. Wilson (1971), Phys. Rev. B 4 , 3174; 3184。ブロックスピンの考え方は L. P. Kadanoff (1966), Physics 2 , 263。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
