出てくるもの (2)：場の量子論の $\beta$ 関数と走る結合

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第11章 §5.11.4　★★★ 第5部第10章のカウンター項から $\beta(\lambda)=-\epsilon\lambda+3\lambda^2/(16\pi^2)$ が出て、Wilson の再帰式と係数まで一致する。QED の $e^3/(12\pi^2)$ と走る $\alpha$

カウンター項から $\beta$ 関数へ

第5部第9章・第5部第10章では、$d=4-\epsilon$ 次元の次元正則化で4点関数の1ループの泡の積分を計算し、その極を最小引き算（MS）で消すカウンター項を決めた。泡の積分は

$$\int\frac{\mathrm{d}^dk}{(2\pi)^d}\frac{1}{(k^2+m_0^2)^2}=\frac{\Gamma(\epsilon/2)}{(4\pi)^{d/2}}(m_0^2)^{-\epsilon/2}=\frac{1}{16\pi^2}\Bigl(\frac{2}{\epsilon}+\mathcal{O}(1)\Bigr)$$

で、3つのチャネルがそれぞれ対称因子 $2$（掛かる因子は $\frac12$） と $\lambda^2$ を持つので、極の部分は $\frac{3\lambda^2}{16\pi^2\epsilon}$ になる。次元正則化では $\lambda$ に $\mu^\epsilon$ を掛けて無次元にしてあり、裸の結合 $\lambda_0$ と物理的な結合 $\lambda(\mu)$ の関係は

$$\lambda_0=\mu^\epsilon\Bigl(\lambda+\frac{3\lambda^2}{16\pi^2\epsilon}+\mathcal{O}(\lambda^3)\Bigr)\tag{5.11.15}$$

である。$\mu$ は次元正則化のために入れた任意の尺度で、裸の結合 $\lambda_0$ は $\mu$ によらない。この要請から、$\lambda$ が $\mu$ とともにどう変わるかが決まる。$\beta(\lambda)\coloneqq\mu\frac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{d} \mu}$ と置き、式 (5.11.15) を $\ln\mu$ で微分して $0$ と置くと

$$\epsilon\Bigl(\lambda+\frac{3\lambda^2}{16\pi^2\epsilon}\Bigr)+\beta(\lambda)\Bigl(1+\frac{6\lambda}{16\pi^2\epsilon}\Bigr)=0$$

で、これを $\lambda$ の2次まで解くと

$$\beta(\lambda)=-\epsilon\lambda+\frac{3\lambda^2}{16\pi^2}+\mathcal{O}(\lambda^3)\tag{5.11.16}$$

を得る。$1/\epsilon$ の極は打ち消し合い、$\beta(\lambda)$ は $\epsilon\to0$ で有限に残る。$d=4$ では $\beta(\lambda)=3\lambda^2/(16\pi^2)$ である。同じ係数 $3\lambda^2/(16\pi^2)$ は、第5部第9章の5.9.7節の総合問題（正則化によらない結合の変化）と第5部第10章の式 (5.10.22)（くりこみの条件）でも出た。

Wilson の再帰式と同じものであること

Wilson の $\ell$ は長い距離へ向かう向きに進み、$\mu$ はエネルギー（波数）の尺度なので、$\mu\propto\Lambda\mathrm{e}^{-\ell}$、すなわち $\mu\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \mu}=-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \ell}$ である。式 (5.11.12) で $r=0$ と置き、$d=4$ の値 $K_4=1/(8\pi^2)$ を使って $u=\lambda/(8\pi^2)$ と戻すと

$$\mu\frac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{d} \mu}=-8\pi^2\Bigl(\epsilon u-\frac32u^2\Bigr)=-\epsilon\lambda+\frac{3\lambda^2}{16\pi^2}$$

で、式 (5.11.16) と係数まで一致する。殻の積分の $J\,\Delta\ell$ は、次元正則化の $\frac{1}{16\pi^2}\cdot\frac{2}{\epsilon}$ の極と同じく、対数発散 $\int\mathrm{d}^4k/k^4$ の係数 $\frac{1}{8\pi^2}$ を取り出したものだからである。1ループの $\beta$ 関数の係数は、正則化の仕方（切断・次元正則化）によらない。

Wilson–Fisher 固定点は、場の量子論の言葉では $\beta(\lambda^*)=0$ の点 $\lambda^*/(16\pi^2)=\epsilon/3$ である。図 5.11.2 に $g\coloneqq\lambda/(16\pi^2)$ で書いた$\beta$ 関数 $\mu\,\mathrm{d} g/\mathrm{d}\mu=-\epsilon g+3g^2$ を示す。

走る結合と Landau 極

$d=4$ で式 (5.11.16) を解くと

$$\frac{1}{\lambda(\mu)}=\frac{1}{\lambda(\mu_0)}-\frac{3}{16\pi^2}\ln\frac{\mu}{\mu_0}\tag{5.11.17}$$

になる。$\mu$ を下げると $\lambda$ は対数的に $0$ へ向かい、$d=4$ の臨界現象は平均場の指数に対数の補正が付いた形になる。$\mu$ を上げると $\lambda$ は大きくなり、$\ln(\mu/\mu_0)=16\pi^2/(3\lambda(\mu_0))$ で式の上では発散する。この点を Landau 極と呼ぶ。1ループの式はその手前で $\lambda$ が大きくなった所で使えなくなるので、Landau 極の位置そのものに意味があるわけではないが、「切断 $\Lambda$ を無限に大きくすると低いエネルギーの $\lambda$ は $0$ になる」という傾向を示している。

結合定数が尺度によって変わるという見方は、Gell-Mann と Low が QED で最初に示した¹1M. Gell-Mann, F. E. Low (1954), Phys. Rev. 95, 1300。下の脚注へ閉じる。第5部第10章の真空偏極から、光子の場の規格化の因子は1ループで $Z_3=1-e^2/(6\pi^2\epsilon)$ であった。Ward の恒等式で頂点と電子の場の因子が打ち消し合うので$e_0=\mu^{\epsilon/2}Z_3^{-1/2}e$ となり、$\phi^4$ と同じ手順で

$$\beta(e)=-\frac{\epsilon}{2}e+\frac{e^3}{12\pi^2},\qquad \mu\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} \mu}=\frac{2\alpha^2}{3\pi}\quad(d=4,\ \alpha=e^2/(4\pi))\tag{5.11.18}$$

を得る。電荷は短い距離ほど大きく見える。電子と陽電子の対が電荷のまわりで分極し、遠くから見ると電荷を一部遮蔽するためである。

非可換ゲージ理論では、ゲージ場自身が電荷を持つために $\beta$ 関数の符号が逆になりうる。$\mathrm{SU}(3)$ で $n_f$ 種類のクォークがあるとき、1ループの結果は$\beta(g)=-\bigl(11-\frac23n_f\bigr)g^3/(16\pi^2)$ で、$n_f\le16$ では負になる²2D. J. Gross, F. Wilczek (1973), Phys. Rev. Lett. 30, 1343；H. D. Politzer (1973), Phys. Rev. Lett. 30, 1346。下の脚注へ閉じる。結合は短い距離で弱くなる（漸近的自由性）。この計算は非可換ゲージ理論のくりこみを要するので、この巻では結果の引用にとどめる。

Callan–Symanzik 方程式

$n$ 点の相関関数 $G^{(n)}$ について、裸の量で書いた $G^{(n)}_0=Z_\phi^{n/2}G^{(n)}$ が $\mu$ によらないことを書くと

$$\Bigl[\mu\frac{\partial }{\partial \mu}+\beta(\lambda)\frac{\partial }{\partial \lambda}+n\gamma_\phi(\lambda)\Bigr]G^{(n)}=0,\qquad \gamma_\phi\coloneqq\frac12\mu\frac{\mathrm{d} \ln Z_\phi}{\mathrm{d} \mu}\tag{5.11.19}$$

になる³3C. G. Callan (1970), Phys. Rev. D 2, 1541；K. Symanzik (1970), Commun. Math. Phys. 18, 227。下の脚注へ閉じる。$\gamma_\phi$ を場の異常次元と呼ぶ。固定点 $\beta(\lambda^*)=0$ ではこの式は $G^{(n)}$ が尺度について冪の形になることを言い、2点関数は $G^{(2)}(k)\propto k^{-2+2\gamma_\phi(\lambda^*)}$ になる。臨界指数 $\eta$（5.11.5節）は $\eta=2\gamma_\phi(\lambda^*)$ である。$\phi^4$ 理論では $\gamma_\phi$ は2ループから始まり、$\eta=\epsilon^2/54+\mathcal{O}(\epsilon^3)$ になる⁴4K. G. Wilson (1972), Phys. Rev. Lett. 28, 548。下の脚注へ閉じる。1ループでは $\eta=0$ で、Wilson の再帰式で $\zeta$ が相互作用の無いときと同じだったことと一致する。

1　M. Gell-Mann, F. E. Low (1954), Phys. Rev. 95, 1300。

2　D. J. Gross, F. Wilczek (1973), Phys. Rev. Lett. 30, 1343；H. D. Politzer (1973), Phys. Rev. Lett. 30, 1346。

3　C. G. Callan (1970), Phys. Rev. D 2, 1541；K. Symanzik (1970), Commun. Math. Phys. 18, 227。

4　K. G. Wilson (1972), Phys. Rev. Lett. 28, 548。