出てくるもの (2)：結合定数のくりこみと有限な散乱

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第10章 §5.10.4　★★★ 4点の頂点は $\lambda_0-\frac{\lambda^2}{2}[B(s)+B(t)+B(u)]$。発散は $\ln\Lambda$ だけで、測る $\lambda$ で書くと $\Lambda$ が消える。残る $\ln$ が結合の運動量依存

4点の頂点

有効ポテンシャルの $\bar\phi^4$ の係数は、外線の運動量がすべて $0$ の4点の頂点に等しい。外線の運動量を一般にするには、$\operatorname{Tr}\ln$ を $\bar\phi(x)$ の2次まで展開した$-\frac14\operatorname{Tr}\bigl(G\frac\lambda2\bar\phi^2G\frac\lambda2\bar\phi^2\bigr)$（$G=(-\partial^2+m^2)^{-1}$）を運動量で書けばよい。4本の外線を2本ずつの対に分ける仕方が3通りあり、Euclid の運動量で $s=(k_1+k_2)^2$, $t=(k_1+k_3)^2$, $u=(k_1+k_4)^2$（運動量はすべて流れ込む向き）とおくと

$$\Gamma^{(4)}(k_i)=\lambda_0-\frac{\lambda^2}{2}\bigl[B(s)+B(t)+B(u)\bigr]+\mathcal{O}(\lambda^3)\tag{5.10.18}$$

になる（1ループでは $Z=1$ なので $\delta_\lambda=\lambda_0-\lambda$）。$k_i=0$ なら $-\frac32\lambda^2B(0)$ で、有効ポテンシャルの係数 $-\frac{\lambda^2}{16}\cdot4!=-\frac32\lambda^2$ と一致する。

$B(0)$ は第5部第8章の泡の積分 $B$ と同じ積分で、切断した値は第8章の式 (5.8.17) で求めた。

$$B(0)=\frac{1}{16\pi^2}\Bigl[\ln\Bigl(1+\frac{\Lambda^2}{m^2}\Bigr)-\frac{\Lambda^2}{\Lambda^2+m^2}\Bigr]\tag{5.10.19}$$

で、$\ln\Lambda$ で発散する。外線2本の $D=2$ に対し、外線4本の $D=4-4=0$ が対数の発散にあたる。$p\ne0$ では Feynman のパラメータ $x$ で分母をまとめ、$k$ をずらしてから積分すると

$$B(0)-B(p^2)=\frac{1}{16\pi^2}\,b(p^2),\qquad b(s)\coloneqq\int_0^1\ln\Bigl(1+x(1-x)\frac{s}{m^2}\Bigr)\mathrm{d} x\tag{5.10.20}$$

を得る（$\Lambda\to\infty$ の極限。対数発散の積分では積分変数をずらしても $\Lambda\to\infty$ で差が消える）。$b$ は第9章の $F$（式 (5.9.14)）で $b(s)=F(s/m^2)$ である。差は有限で、発散は $p$ によらない $B(0)$ にだけある。閉じた形は $\beta_s=\sqrt{1+4m^2/s}$ として $b(s)=-2+\beta_s\ln\frac{\beta_s+1}{\beta_s-1}$、大きな $s$ では $b(s)\approx\ln\frac{s}{m^2}-2$ である（図 5.10.2）。

測る $\lambda$ で書き直す

条件 (5.10.12) の第2式は $\lambda=\lambda_0-\frac32\lambda^2B(0)$、つまり $\delta_\lambda=\frac32\lambda^2B(0)$ を要求する。これを式 (5.10.18) に入れると

$$\Gamma^{(4)}(k_i)=\lambda+\frac{\lambda^2}{32\pi^2}\bigl[b(s)+b(t)+b(u)\bigr]+\mathcal{O}(\lambda^3)\tag{5.10.21}$$

になる。$\Lambda$ は消えた。測る結合定数 $\lambda$ と測る質量 $m$ を与えれば、どの運動量の配置の4点の頂点も有限の数として予言される。これが、くりこみによって理論が予言を持つ、ということの中身である。

式 (5.10.21) は外線の運動量が大きいほど大きくなる。$s=t=u=\mu^2\gg m^2$ の点で頂点を測って $\lambda_\mu$ と呼ぶと

$$\lambda_\mu=\lambda+\frac{3\lambda^2}{32\pi^2}b(\mu^2)\approx\lambda+\frac{3\lambda^2}{32\pi^2}\Bigl(\ln\frac{\mu^2}{m^2}-2\Bigr)\tag{5.10.22}$$

で、短い距離（大きな運動量）で見るほど結合は強く見える。$\mu$ による変化率は $\mu\frac{\mathrm{d} \lambda_\mu}{\mathrm{d} \mu}\approx\frac{3\lambda^2}{16\pi^2}$ で、これが第5部第11章で扱う $\phi^4$ の $\beta$ 関数の1ループの係数になる。

予言は足場によらない

次元正則化で同じ計算をすると $B(p^2)=\frac{1}{16\pi^2}\bigl[\frac{2}{\epsilon}-\gamma_{\mathrm E}+\ln4\pi-\int_0^1\ln\frac{m^2+x(1-x)p^2}{\mu^2}\mathrm{d} x\bigr]$ となり、$B(0)$ の値は切断のときと違うが、差 $B(0)-B(p^2)$ はやはり $b(p^2)/(16\pi^2)$ である。したがって式 (5.10.21) はそのまま成り立つ。くりこみの条件を別の点で課しても（たとえば $\lambda_\mu$ を測る量に選んでも）、式 (5.10.21) は

$$\Gamma^{(4)}(k_i)=\lambda_\mu+\frac{\lambda_\mu^2}{32\pi^2}\bigl[b(s)+b(t)+b(u)-3b(\mu^2)\bigr]+\mathcal{O}(\lambda_\mu^3)$$

と書き換わるだけで、2つの頂点の値の関係は変わらない。足場の選び方とくりこみの点の選び方は、測る量どうしのこの関係に入らない。

くりこみ可能性

カウンター項が式 (5.10.5) の3つで足りたのは、4次元の $\phi^4$ 理論の図の表面的発散次数が外線の本数 $E$ だけで $D=4-E$ と決まり（第5部第8章の式 (5.8.24)。結合定数が無次元 $[\lambda]=0$ であること〔式 (5.8.25)〕による。超くりこみ可能・可能・不可能の分類も第8章で行った）、頂点の数によらないからである。$D\ge0$ になるのは $E=2$（$D=2$）と $E=4$（$D=0$）だけで、$E$ が奇数の頂点は $\phi\to-\phi$ の対称性で $0$ になる。$E=2$ の発散は $\Lambda^2$ と $k^2\ln\Lambda$ の形しかとれず、$\delta_m$ と $\delta_Z$ で吸収することができる。$E=4$ の発散は運動量によらない定数で、$\delta_\lambda$ で吸収することができる。部分の図の中に発散がある多ループの図も、部分ごとにカウンター項を入れれば有限になり、これが摂動のすべての次数で成り立つことは Bogoliubov・Parasiuk・Hepp・Zimmermann によって示された（BPHZ の定理）¹1N. N. Bogoliubov and O. S. Parasiuk (1957), Acta Math. 97, 227；K. Hepp (1966), Commun. Math. Phys. 2, 301；W. Zimmermann (1969), Commun. Math. Phys. 15, 208。下の脚注へ閉じる。

これに対し、$\frac{g_6}{6!}\phi^6$ の項を足すと、$\phi^6$ の頂点を $V_6$ 個含む図は $D=4-E+2V_6$ を持ち、頂点を増やすほど発散が強くなる。外線の本数がいくつでも発散する図があるので、無限個のカウンター項（無限個の測る量）が要る。この種の理論をくりこみ不可能と呼ぶ。くりこみ不可能な項の係数は質量の負のべきの次元を持ち（$g_6$ は質量$^{-2}$）、エネルギー $E$ での寄与は $(E/\Lambda)^2$ のように抑えられる。くりこみ可能な理論とは、切断よりずっと低いエネルギーで見たときに残る項だけを持つ理論、と読むこともでき、この見方は次の章のくりこみ群で式になる。

1　N. N. Bogoliubov and O. S. Parasiuk (1957), Acta Math. 97, 227；K. Hepp (1966), Commun. Math. Phys. 2, 301；W. Zimmermann (1969), Commun. Math. Phys. 15, 208。