当てる道具：Legendre 変換で作る有効作用

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第10章 §5.10.2　★★★ $W[J]=\ln Z[J]$ を $\bar\phi=\delta W/\delta J$ へ Legendre 変換した $\Gamma[\bar\phi]$ が「量子補正込みの作用」。1ループでは $\Gamma=S+\frac12\operatorname{Tr}\ln S''$。くりこみの条件は $\Gamma$ の微分の値で書く

生成汎関数とその Legendre 変換

第5部第7章では、源 $J(x)$ を入れた経路積分

$$Z[J]=\int\mathcal D\phi\;\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}[\phi]+\int\mathrm{d}^4x\,J\phi}\tag{5.10.6}$$

を $J$ で微分して相関関数を作った。$W[J]\coloneqq\ln Z[J]$ を微分すると連結な相関関数だけが残り、1階微分は場の平均

$$\bar\phi(x)=\frac{\delta W}{\delta J(x)}=\langle \phi(x) \rangle _J\tag{5.10.7}$$

になる。$W$ は $J$ について凸である（2階微分は揺らぎ $\langle \phi\phi \rangle _J-\langle \phi \rangle _J\langle \phi \rangle _J$ で、正定値）。したがって $J$ と $\bar\phi$ は1対1に対応し、第1部第7章の Legendre 変換を行うことができる。

力学の Legendre 変換 $H(p)=p\dot q-L(\dot q)$ と同じく、変換した量の1階微分はもとの変数を返す。源が無いとき（$J=0$）、場の平均 $\bar\phi$ は $\delta\Gamma/\delta\bar\phi=0$ で決まる。古典の場が $\delta S=0$ で決まったのと同じ形で、$\Gamma$ は「量子の揺らぎを積分し終えた後の作用」として読むことができる。

Legendre 変換のもう1つの性質は、2階微分が互いに逆になることである。力学では $\partial^2H/\partial p^2=(\partial^2L/\partial\dot q^2)^{-1}$ だった。ここでは

$$\int\mathrm{d}^4y\,\frac{\delta^2\Gamma}{\delta\bar\phi(x)\delta\bar\phi(y)}\,\frac{\delta^2W}{\delta J(y)\delta J(z)}=\delta^{(4)}(x-z)\tag{5.10.9}$$

で、$\delta^2W/\delta J\delta J$ は連結な2点関数（伝播関数）なので、$\Gamma$ の2階微分は伝播関数の逆になる。運動量で書いた $\Gamma^{(2)}(k^2)$ は、自由場では $k^2+m^2$ で、相互作用があると補正を受ける。$\Gamma$ の3階以上の微分 $\Gamma^{(n)}$ は、1本の内線を切っても2つに分かれない図（1粒子既約、1PI）の和になる。外線の伝播関数を外した「頂点そのもの」である。

1ループの有効作用

$\hbar$ を戻して $\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}/\hbar}$ と書くと、$\hbar\to0$ で経路積分 (5.10.6) は $S_{\mathrm E}-\int J\phi$ の停留点 $\phi_{\mathrm c}$ のまわりで評価することができる。第4部第8章で経路積分から古典の経路を取り出したのと同じ停留位相（虚時間では鞍点）の評価である。停留点のまわりの2次までの展開で Gauss 積分をすると

$$W[J]=\frac{1}{\hbar}\Bigl(-S_{\mathrm E}[\phi_{\mathrm c}]+\int J\phi_{\mathrm c}\Bigr)-\frac12\operatorname{Tr}\ln S_{\mathrm E}''[\phi_{\mathrm c}]+\mathcal{O}(\hbar)$$

となる。$S''_{\mathrm E}[\phi]=-\partial^2+V''(\phi)$ は2階の汎関数微分で、$\operatorname{Tr}\ln$ は Gauss 積分の行列式 $\det S''$ の対数である。これを Legendre 変換すると、$\bar\phi$ と $\phi_{\mathrm c}$ の差は $\mathcal{O}(\hbar)$ で、その差は $S_{\mathrm E}-\int J\phi$ の停留性のため1次では寄与しないので

$$\Gamma[\bar\phi]=S_{\mathrm E}[\bar\phi]+\frac{\hbar}{2}\operatorname{Tr}\ln S_{\mathrm E}''[\bar\phi]+\mathcal{O}(\hbar^2)\tag{5.10.10}$$

を得る。$\hbar$ の次数がループの数を数えている。以下は再び $\hbar=1$ とする。

$\bar\phi$ が定数なら $\Gamma=\int\mathrm{d}^4x\,V_{\mathrm{eff}}(\bar\phi)$ と書け、$S''$ は運動量の表示で対角なので

$$V_{\mathrm{eff}}(\bar\phi)=V(\bar\phi)+\frac12\int\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}\ln\bigl(k^2+V''(\bar\phi)\bigr)+({\bar\phi}\text{ によらない定数})\tag{5.10.11}$$

になる。これを有効ポテンシャルと呼ぶ。式 (5.10.11) の積分は、質量 $\sqrt{V''(\bar\phi)}$ の振動子の零点エネルギーの和を虚時間で書いたもので、第5部第2章の零点エネルギーが $\bar\phi$ に依存する形で現れている。

くりこみの条件

測る量 $m,\phi,\lambda$ を $\Gamma$ で定義する。Euclid の運動量で

$$\Gamma^{(2)}(k^2)=k^2+m^2+\mathcal{O}\bigl((k^2+m^2)^2\bigr),\qquad \Gamma^{(4)}(k_i=0)=\lambda\tag{5.10.12}$$

とする。第1式は、伝播関数 $1/\Gamma^{(2)}$ の極が $k^2=-m^2$（実時間で $p^2=m^2$）にあって留数が $1$ であることを言っている。これが「粒子の質量を $m$ と測り、場をその粒子1個を作る規格で数える」ことの式である。第2式は、4本の外線の運動量がすべて $0$ の点で4点の頂点を測り、その値を $\lambda$ と呼ぶ、という約束である。$\lambda$ の定め方には他の選び方（外線の運動量を $\mu$ の程度にそろえた点など）もあり、どれを選んでも予言は変わらない（5.10.4節）。

条件 (5.10.12) は、カウンター項の係数 $\delta_Z,\delta_m,\delta_\lambda$ を摂動の各次数で決める3つの方程式である。カウンター項は $\phi$ について式 (5.10.5) の形しかないので、くりこみの条件も3つで足りる。この「足りる」ことが成り立つ理論をくりこみ可能と呼ぶ（5.10.4節）。