授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第11章 §5.11.6　★★ 統計力学の授業の Kadanoff のブロックスピンとスケーリング則、場の量子論の授業の有効電荷と真空偏極は、この章の流れの方程式の2つの読み方である

統計力学：ブロックスピンとスケーリング則

統計力学の授業では、臨界現象のくりこみ群を Kadanoff のブロックスピンで説明することが多い。格子を一辺 $\mathrm{e}^{\ell}$ 個のスピンからなるブロックに分け、ブロックの中のスピンの平均を新しいスピンとみなして、新しいスピンの間の結合 $K'$ を求める。5.11.2の例題の間引きはその最も簡単な例である。授業の式は次の形で書かれる。

$$K'=R(K),\qquad \xi(K')=\mathrm{e}^{-\ell}\xi(K),\qquad \nu=\frac{\ell}{\ln\bigl(\mathrm{d} R/\mathrm{d} K\bigr)_{K^*}}.$$

最後の式は、この章の式 (5.11.9) で $y_t=\ln(\mathrm{d} R/\mathrm{d} K)_{K^*}/\ell$ と置いたものである。授業で実空間のブロックを使うところを、この章では波数の殻を使った。実空間のブロックは格子の上で直観的だが、ブロックの平均を取ると $\phi^4$ 以外の結合が多数現れて近似の制御が難しい。波数の殻は、殻の幅を小さくして $\lambda$ と $\epsilon$ で展開できるので、近似の大きさを数えることができる。

スケーリング則は、授業では実験で見つかった関係として次の4つで与えられることが多い。

$$\begin{aligned} &\alpha+2\beta_{\mathrm{exp}}+\gamma=2\ \text{(Rushbrooke)},&&\gamma=\beta_{\mathrm{exp}}(\delta-1)\ \text{(Widom)},\\ &\gamma=\nu(2-\eta)\ \text{(Fisher)},&&2-\alpha=d\nu\ \text{(Josephson)} \end{aligned}\tag{5.11.23}$$

式 (5.11.21) を入れると、4つとも $y_t,y_h$ によらない恒等式になる。例えば Rushbrooke は$2-\frac{d}{y_t}+\frac{2(d-y_h)}{y_t}+\frac{2y_h-d}{y_t}=2$ である。6つの指数のうち独立なのは2つだけで、それが固定点のまわりの2つの relevant な固有値 $y_t,y_h$ である。最後の Josephson の関係は次元 $d$ を含み、ハイパースケーリングと呼ばれる。平均場の指数は $d=4$ でだけこれを満たす。$d>4$ では $u$ が irrelevant で、固定点での値は $0$ である。ところが低温側の磁化 $m_0^2=-a/b$ のように $u$（$b$）で割った形の量は $u\to0$ で発散するので、$u$ を $0$ に置いて式 (5.11.20) を使うことができない。このような変数を危険な irrelevant 変数と呼ぶ。

場の量子論：有効電荷と真空偏極

場の量子論の授業では、QED の真空偏極を計算し、運動量移行 $Q$ で測った有効電荷を

$$\alpha_{\mathrm{eff}}(Q^2)=\frac{\alpha}{1-\dfrac{\alpha}{3\pi}\ln\dfrac{Q^2}{m_e^2}}\qquad(Q\gg m_e)$$

の形で書く。$\ln(Q^2/m_e^2)=2\ln(Q/m_e)$ なので、これは5.11.4の例題 (1) の $1/\alpha(\mu)=1/\alpha-\frac{2}{3\pi}\ln(\mu/m_e)$ で $\mu=Q$ と置いたものと同じである。授業ではこれを「ループの和（幾何級数）を取ったもの」として導くが、この章の見方では $\beta$ 関数の微分方程式の解である。微分方程式で書くと、1ループの $\beta$ 関数から $\ln$ の全部の冪（$\alpha^n\ln^n$）が足し上がる理由が見える。