この章のまとめ

(1) $f$ は $\lvert \bm{m}\rvert$ だけの関数で、$\mathrm{d} f/\mathrm{d}\lvert \bm{m}\rvert =(a+b\lvert \bm{m}\rvert ^2)\lvert \bm{m}\rvert =0$ から $m_0=\sqrt{-a/b}$。最小点を $\bm{m}=(m_0,0,\dots,0)$ に取ると、平行な方向の曲率は $\partial^2f/\partial m_1^2=a+3bm_0^2=2\lvert a\rvert$、垂直な方向は $\partial^2f/\partial m_2^2=a+bm_0^2=0$ である。垂直な方向に曲率が無いのは、最小点が球面上に連続的に並んでいて、その上を動いても $f$ が変わらないためである（回転対称性の破れに伴う Goldstone のモード）。$m_0\propto\lvert a\rvert ^{1/2}$、平行な方向の感受率 $1/(2\lvert a\rvert )$ は $N=1$ と同じなので、平均場の $\beta_{\mathrm{exp}}=\frac12$、$\gamma=1$ は $N$ によらない。

(2) $(\phi^2)^2$ のうち $\phi_>$ について2次の項は $2(\phi_<\cdot\phi_<)(\phi_>\cdot\phi_>)+4(\phi_<\cdot\phi_>)^2$ である。期待値は $\langle \phi_>\cdot\phi_> \rangle =NG_>$、$\langle (\phi_<\cdot\phi_>)^2 \rangle =\phi_<^2G_>$ なので $(2N+4)\phi_<^2G_>$。$\frac{\lambda}{4!}(2N+4)\phi_<^2I=\frac12\Delta r\,\phi_<^2$ から $\Delta r=\frac{N+2}{6}\lambda I$（$N=1$ で $\frac{\lambda}{2}I$）。

2次の項では、上の2次の部分を $\phi_{<a}\phi_{<b}M_{ab}$、$M_{ab}=2\delta_{ab}(\phi_>\cdot\phi_>)+4\phi_{>a}\phi_{>b}$ と書き、$x$ と $y$ の $M$ を $\phi_>$ を2本ずつつなぐ。$\langle (\phi_>\cdot\phi_>)(\phi_>\cdot\phi_>) \rangle _{\mathrm c}=2NG^2$、$\langle (\phi_>\cdot\phi_>)\phi_{>c}\phi_{>d} \rangle _{\mathrm c}=2\delta_{cd}G^2$、$\langle \phi_{>a}\phi_{>b}\phi_{>c}\phi_{>d} \rangle _{\mathrm c}=(\delta_{ac}\delta_{bd}+\delta_{ad}\delta_{bc})G^2$（$G=G_>(x-y)$）を使い、$\phi_<$ を局所近似で同じ点に置くと

$$\phi_{<a}\phi_{<b}\phi_{<c}\phi_{<d}\langle M_{ab}M_{cd} \rangle _{\mathrm c}=\bigl(4\cdot2N+2\cdot8\cdot2+16\cdot2\bigr)(\phi_<^2)^2G^2=8(N+8)(\phi_<^2)^2G^2.$$

$-\frac12\bigl(\frac{\lambda}{4!}\bigr)^2\cdot8(N+8)(\phi_<^2)^2J=\frac{\Delta\lambda}{4!}(\phi_<^2)^2$ から $\Delta\lambda=-\frac{N+8}{6}\lambda^2J$（$N=1$ で $-\frac32\lambda^2J$）。

(3) 式 (5.11.12) と同じ手順で

$$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \ell}=2r+\frac{N+2}{6}\frac{u}{1+r},\qquad \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} \ell}=\epsilon u-\frac{N+8}{6}\frac{u^2}{(1+r)^2}.$$

$\epsilon$ の1次で $u^*=\frac{6\epsilon}{N+8}$、$r^*=-\frac{N+2}{12}u^*$。行列 $M$ の左上は $2-\frac{N+2}{6}u^*=2-\frac{N+2}{N+8}\epsilon$、右下は $\epsilon-2\epsilon=-\epsilon$、左下は $\mathcal{O}(\epsilon^2)$ なので

$$y_t=2-\frac{N+2}{N+8}\epsilon,\qquad \nu=\frac12+\frac{N+2}{4(N+8)}\epsilon+\mathcal{O}(\epsilon^2).$$

$N=1$ で $\frac12+\frac{\epsilon}{12}$ に戻る。

(4) Wilson の流れを $\mu\,\mathrm{d}/\mathrm{d}\mu=-\mathrm{d}/\mathrm{d}\ell$、$u=\lambda/(8\pi^2)$ で読み替えて$\beta(\lambda)=-\epsilon\lambda+\frac{N+8}{48\pi^2}\lambda^2$（$N=1$ で $\frac{3\lambda^2}{16\pi^2}$）。零点は $\frac{\lambda^*}{16\pi^2}=\frac{3\epsilon}{N+8}$（$N=1$ で $\frac{\epsilon}{3}$）。次元正則化でカウンター項から出しても、同じ組み合わせの数 $(N+8)$ が泡の3つのチャネルから出る。

(5) $\epsilon=1$ で $\nu=\frac12+\frac{N+2}{4(N+8)}$ は $N=1,2,3$ でそれぞれ $\frac12+\frac{3}{36}=0.583$、$\frac12+\frac{4}{40}=0.600$、$\frac12+\frac{5}{44}=0.614$。成分の数が増えるほど揺らぎの自由度が増え、平均場の値 $\frac12$ からのずれが大きくなる。$N\to\infty$ では $\nu\to\frac12+\frac{\epsilon}{4}$ で、球形模型の厳密な結果（T. H. Berlin, M. Kac (1952), Phys. Rev. 86, 821）$\nu=\frac{1}{d-2}=\frac{1}{2-\epsilon}=\frac12+\frac{\epsilon}{4}+\mathcal{O}(\epsilon^2)$ と1次で一致する。$\epsilon$ 展開が、$N$ が大きい極限という別の近似と同じ答えを出すことは、展開の係数が正しいことの1つの確かめになる。