出てくるもの（1）：Weiss の自己無撞着方程式と $T_{\mathrm c}$

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第3部 第7章 §3.7.3　★★★ Ising 模型を積の分布で近似すると $m=\tanh\beta(zJm+b)$ が出て、$T_{\mathrm c}=zJ/ k_{\mathrm B}$ で自発磁化が現れる

積の分布での自由エネルギー

Ising 模型 (3.7.1) に 3.7.2節の手続きを当てる。格子点 $i$ の分布 $\rho_i(s_i)$ は $s_i=\pm1$ の2つの値の確率で、平均 $m_i=\langle s_i \rangle$ を使えば $\rho_i(s_i)=(1+m_is_i)/2$ と1つの数で書ける。積の分布では隣どうしが独立なので $\langle s_is_j \rangle =m_im_j$ で、

$$\langle H \rangle _\rho=-J\sum_{\langle ij\rangle}m_im_j-b\sum_im_i .$$

エントロピーは格子点ごとの2値の分布のエントロピーの和で、二値エントロピー $h_{\mathrm b}(p)=-p\ln p-(1-p)\ln(1-p)$ を使って$S[\rho]= k_{\mathrm B}\sum_ih_{\mathrm b}\bigl((1+m_i)/2\bigr)$。外場が一様なら、どの格子点も同じ $m_i=m$ をとる解を探せばよい。このとき

$$\frac{F_{\mathrm{MF}}(m)}{N}=-\frac{zJ}{2}m^2-bm- k_{\mathrm B} T\,h_{\mathrm b}\Bigl(\frac{1+m}{2}\Bigr)\tag{3.7.10}$$

である（ボンドの数 $Nz/2$ を使った）。第1項は隣どうしがそろうことによるエネルギーの得、第3項は $m$ を $\pm1$ に寄せるほど失うエントロピーで、$F_{\mathrm{MF}}(m)$ はこの2つの兼ね合いを1つの変数 $m$ の関数として書いたものになっている。

自己無撞着方程式

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} m}h_{\mathrm b}\bigl((1+m)/2\bigr)=-\frac12\ln\frac{1+m}{1-m}=-\operatorname{artanh}m$ なので、$\partial F_{\mathrm{MF}}/\partial m=0$ は$k_{\mathrm B} T\operatorname{artanh}m=zJm+b$、すなわち

$$m=\tanh\bigl(\beta(zJm+b)\bigr)\tag{3.7.11}$$

になる。同じ式は式 (3.7.8) からも直接読み取ることができる。格子点 $i$ の1体の有効 Hamiltonian は、隣の $z$ 個の $s_j$ を平均 $m$ で置き換えた

$$h_i^{\mathrm{eff}}(s_i)=-(zJm+b)\,s_i\eqqcolon-b_{\mathrm{eff}}\,s_i\tag{3.7.12}$$

で、1つのスピンが外場 $b_{\mathrm{eff}}$ の中にあるときの平均は $\tanh(\beta b_{\mathrm{eff}})$ である。隣のスピンの平均がつくる外場$zJm$ を 分子場（Weiss 場）と呼ぶ（Weiss（1907）、J. Phys. Théor. Appl. 6、661）。

外場 $b=0$ で式 (3.7.11) を図で解く（図 3.7.1）。$m=0$ はつねに解である。右辺 $\tanh(\beta zJm)$ の原点での傾きは$\beta zJ$ で、これが $1$ を超えると、直線 $m$ と曲線 $\tanh(\beta zJm)$ は原点のほかに $\pm m_*$ の2点で交わる。境目の温度

$$k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}=zJ\tag{3.7.13}$$

が平均場の近似での相転移の温度（Curie 温度）である。$T<T_{\mathrm c}$ では外場が無くても $m\neq0$ の解があり、これを自発磁化と呼ぶ。

どの解を選ぶか

$T<T_{\mathrm c}$ で解が3つあるとき、選ぶのは $F_{\mathrm{MF}}$ を最小にする解である。式 (3.7.10) を2回微分すると$F_{\mathrm{MF}}''(0)/N=-zJ+ k_{\mathrm B} T\cdot\frac{1}{1-m^2}\big|_{m=0}= k_{\mathrm B}(T-T_{\mathrm c})$ で、$T<T_{\mathrm c}$ では $m=0$ は $F_{\mathrm{MF}}$ の極大になる。自発磁化 $\pm m_*$ の2つの解は $F_{\mathrm{MF}}$ の値が等しい極小で、外場が無ければどちらが選ばれるかは $H$ の対称性からは決まらない。$H$ が $s\to-s$ で不変なのに、選ばれる状態は不変でない。これを対称性の自発的な破れと呼ぶ。

ここで1つ注意しておく。有限の $N$ のカノニカル分布は $s\to-s$ で不変なので、厳密な $\langle s_i \rangle$ はつねに $0$ である（例題 3.7.1 の (3)）。自発磁化は、$N\to\infty$ の極限をとってから外場 $b\to0$ にする、という順序で定義される。積の分布はこの順序を先取りして、$+m_*$ と $-m_*$ のどちらか一方の「谷」に入った分布を表している。