出てくるもの3：空間に広がる秩序変数と揺らぎ

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第3部 第10章 §3.10.5　★★★ $F_{\mathrm L}[m]$ の Euler–Lagrange 方程式は「空間を時刻とする力学」で、磁壁は山から山へ転がる軌道。停留点のまわりの揺らぎが Landau 理論の限界を決める

磁壁：力学の軌道として解く

$T<T_{\mathrm c}$, $h=0$ で、1次元の方向 $x$ に沿って $x\to-\infty$ で $m=-m_0$、$x\to+\infty$ で $m=+m_0$ になる配置を考える。式 (3.10.5) は $\kappa m''=f'(m)$ で、3.10.1節の読み替えによれば、質量 $\kappa$ の粒子がポテンシャル $-f(m)$ の中を「時刻」$x$ で動く Newton の運動方程式である。$-f$ は $m=\pm m_0$ に同じ高さの山を持つので、求める解は、左の山の頂上から無限の過去に転がり始め、右の山の頂上に無限の未来に着く軌道に当たる。

Lagrangian が $x$ を含まないので、エネルギーに当たる量 $\mathcal E=\frac{\kappa}{2}m'^2-\bigl[f(m)-f(m_0)\bigr]$ が保存する（第1部第10章）。頂上では $m'=0$ なので $\mathcal E=0$ で、$f(m)-f(m_0)=\frac b4(m^2-m_0^2)^2$ を使うと

$$\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} x}=\sqrt{\frac{b}{2\kappa}}\,(m_0^2-m^2)\tag{3.10.24}$$

となる。変数分離して積分すると

$$m(x)=m_0\tanh\frac{x}{2\xi},\qquad \xi=\sqrt{\frac{\kappa}{2\lvert a\rvert }}\tag{3.10.25}$$

を得る（$x=0$ を壁の中心に選んだ）。$\xi$ は、最小点 $m_0$ のまわりで $f$ の曲率 $f''(m_0)=2\lvert a\rvert$ を使って定めた相関長で、壁の厚さは $\xi$ の数倍である（図 3.10.3）。

壁の単位面積あたりの余分な自由エネルギー（壁の張力）$\sigma$ は、$\mathcal E=0$ から勾配の項と局所の項が各点で等しいことを使えば

$$\sigma=\int_{-\infty}^{\infty}\kappa m'^2\,\mathrm{d} x=\int_{-m_0}^{m_0}\sqrt{2\kappa\bigl[f(m)-f(m_0)\bigr]}\,\mathrm{d} m=\frac{2\sqrt2}{3}\sqrt{\kappa b}\,m_0^3\tag{3.10.26}$$

となる。2つ目の等号の形は、第1部第14章の作用変数 $\oint p\,\mathrm{d} q$（第1部第14章）と同じく、運動量に当たる $\kappa m'$ を座標 $m$ で積分したものである。$m_0^3\propto(T_{\mathrm c}-T)^{3/2}$ なので、張力は $T_{\mathrm c}$ で $0$ になる。

停留点のまわりの揺らぎ

Landau 理論は $\mathrm{e}^{-\beta F_{\mathrm L}[m]}$ の最大点だけを残す近似だった。最大点のまわりの揺らぎがどれだけあるかを、$T>T_{\mathrm c}$, $h=0$ で調べる。最小点は $m=0$ で、$m=\delta m(\bm{r})$ の2次まで残すと

$$F_{\mathrm L}\approx\frac12\int\mathrm{d}^dr\,\bigl[\kappa\lvert \nabla\delta m\rvert ^2+a\,\delta m^2\bigr]=\frac{1}{2V}\sum_{\bm{k}}(\kappa k^2+a)\lvert \widetilde{\delta m}_{\bm{k}}\rvert ^2\tag{3.10.27}$$

となる（体積 $V$ の箱で Fourier 級数に分けた。$\widetilde{\delta m}_{\bm{k}}=\int\mathrm{d}^dr\,\delta m\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}$）。各 $\bm{k}$ の成分は独立な2次の自由度なので、等分配則（第3部第6章）から $\langle \lvert \widetilde{\delta m}_{\bm{k}}\rvert ^2 \rangle =V k_{\mathrm B} T/(\kappa k^2+a)$ である。これを逆変換すると、2点の相関関数は

$$G(\bm{r})=\langle \delta m(\bm{r})\,\delta m(\bm{0}) \rangle =\int\frac{\mathrm{d}^dk}{(2\pi)^d}\frac{ k_{\mathrm B} T}{\kappa k^2+a}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}} \overset{d=3}{=}\frac{ k_{\mathrm B} T}{4\pi\kappa r}\mathrm{e}^{-r/\xi},\qquad \xi=\sqrt{\frac{\kappa}{a}}\tag{3.10.28}$$

となる。これを Ornstein–Zernike の形と呼ぶ。相関長 $\xi\propto(T-T_{\mathrm c})^{-1/2}$ から $\nu=1/2$、$T_{\mathrm c}$ で $G\propto1/r$ となることから $\eta=0$ が出る（表 3.10.1）。$\bm{k}=0$ の成分は $k_{\mathrm B} T/a$ で、$\beta$ を掛けた $\beta\int G\,\mathrm{d}^dr=1/a$ は式 (3.10.20) の磁化率に一致する。応答（磁化率）が揺らぎ（相関関数の積分）で書けるというこの関係は、揺らぎと線形応答の関係（第3部第9章）の1つの例である。

Landau 理論が成り立つ条件

揺らぎを無視してよいのは、長さ $\xi$ の領域で平均した秩序変数の揺らぎが、秩序変数そのものより小さいときである。$T_{\mathrm c}$ の両側で大きさは同じなので、$\lvert a\rvert$ で書いた大きさの見積もりで比べる（数の因子は省く）。体積 $\xi^d$ で平均した揺らぎの2乗は $k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}\chi/\xi^d= k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}/(\lvert a\rvert \xi^d)$、秩序変数の2乗は $m_0^2=\lvert a\rvert /b$ なので、条件は

$$\frac{ k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}\,b}{\lvert a\rvert ^2\,\xi^d}= k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}\,b\,\lvert a\rvert ^{\frac d2-2}\kappa^{-\frac d2}\ll1\tag{3.10.29}$$

になる（$\xi=\sqrt{\kappa/\lvert a\rvert }$ を入れた）。これを Ginzburg の判定条件と呼ぶ。$T\to T_{\mathrm c}$ で $\lvert a\rvert \to0$ なので、$d>4$ なら左辺は $0$ に近づき、Landau 理論は $T_{\mathrm c}$ に近づくほど良くなる。$d<4$ では左辺は発散し、$T_{\mathrm c}$ のごく近くで Landau 理論は必ず成り立たなくなる。$d=3$ では $t=(T-T_{\mathrm c})/T_{\mathrm c}$ を使って条件は$\lvert t\rvert \gg( k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}b)^2/(a_0T_{\mathrm c}\kappa^3)$ と書ける。右辺（Ginzburg 数）は、相互作用の届く距離が長いほど（$\kappa$ が大きいほど）小さい。相互作用が無限に遠くまで届く Curie–Weiss 模型で Landau 理論が厳密だったのは、この極端な場合に当たる。従来型の超伝導体はコヒーレンス長が長いので Ginzburg 数が非常に小さく、平均場の指数がよく合う。逆に、短距離の相互作用の3次元の系（一軸の磁性体・液体と気体）の指数は表 3.10.1 の右の列になる¹13次元 Ising 普遍性クラスの値は、共形ブートストラップで得られたスケーリング次元 $\Delta_\sigma=0.5181489(10)$, $\Delta_\epsilon=1.412625(10)$（F. Kos, D. Poland, D. Simmons-Duffin, A. Vichi (2016), J. High Energy Phys. 2016(08), 036）から、$\nu=1/(3-\Delta_\epsilon)$, $\eta=2\Delta_\sigma-1$, $\beta=\nu\Delta_\sigma$, $\gamma=\nu(2-\eta)$, $\delta=(3-\Delta_\sigma)/\Delta_\sigma$, $\alpha=2-3\nu$ で計算した。下の脚注へ閉じる。

$d=4$ が境目になることには意味がある。平均場の指数は、Rushbrooke の関係 $\alpha+2\beta+\gamma=2$ を満たすが、空間の次元を含む関係 $2-\alpha=d\nu$ は $d=4$ でだけ満たす。$d<4$ で正しい指数を得るには、$\mathrm{e}^{-\beta F_{\mathrm L}[m]}$ を最大点だけでなく全部の $m(\bm{r})$ について積分する必要がある。これは場の経路積分そのもので、短い波長の揺らぎから順に積分していく Wilson の粗視化（くりこみ群）で扱う（第5部第11章）。この章の $F_{\mathrm L}[m]$ は、そこでは場の量子論の $\phi^4$ 理論の Euclid 作用と同じものとして現れる。

1　3次元 Ising 普遍性クラスの値は、共形ブートストラップで得られたスケーリング次元 $\Delta_\sigma=0.5181489(10)$, $\Delta_\epsilon=1.412625(10)$（F. Kos, D. Poland, D. Simmons-Duffin, A. Vichi (2016), J. High Energy Phys. 2016(08), 036）から、$\nu=1/(3-\Delta_\epsilon)$, $\eta=2\Delta_\sigma-1$, $\beta=\nu\Delta_\sigma$, $\gamma=\nu(2-\eta)$, $\delta=(3-\Delta_\sigma)/\Delta_\sigma$, $\alpha=2-3\nu$ で計算した。