出てくるもの2：1次相転移と共通接線

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第3部 第10章 §3.10.4　★★★ 凸でない $f(m)$ の Legendre 変換は凸包になり、共通接線が2相の共存を表す。$m^6$ の Landau 関数では温度を変えても秩序変数が跳ぶ

外場で駆動した跳び

$T<T_{\mathrm c}$ で外場 $h$ を正から負へゆっくり動かす。式 (3.10.12) の最小点は、$h>0$ では $+m_0$ の近く、$h<0$ では $-m_0$ の近くにあり、$h=0$ を通るとき $+m_0$ から $-m_0$ へ跳ぶ。$F(h)$ は $h=0$ で折れ目を持ち、その傾き $-\partial(F/N)/\partial h=m$ が $2m_0$ だけ跳ぶ。秩序変数（自由エネルギーの1階微分）が不連続に変わるので、これは1次相転移である。

$m$ の側から見ると、$-m_0<m<m_0$ の区間で $f(m)$ は凸でない（$m=0$ のまわりで $f''<0$）。Legendre 変換を2回すると、この区間は高さ $f(\pm m_0)$ の水平な直線（共通接線）に置き換わる（3.10.2節）。直線の上の点 $m=\lambda m_0+(1-\lambda)(-m_0)$ は、試料の割合 $\lambda$ が $+m_0$ の相、$1-\lambda$ が $-m_0$ の相にある2相共存の状態に当たる。2つの相の境目（磁壁）の損は試料の表面の大きさに比例し、体積に比例する $f$ に比べて $N\to\infty$ で無視できるので、共存状態の自由エネルギーは2相の自由エネルギーの重み付き平均、すなわち直線になる。

準安定状態とスピノーダル

$h$ を正から負へ動かしたとき、$h$ が負になっても系はしばらく $+m_0$ の近くの極小に留まりうる。この極小は全体の最小ではないが、そこから出るには $f$ の山を越える必要があり、山の高さは $N$ に比例するので、大きな系ではほとんど越えられない。これを準安定状態と呼び、磁石のヒステリシスはこれで説明される。極小が消えるのは $f'(m)=h$ と $f''(m)=0$ が同時に成り立つ所で、Landau 関数では $am+bm^3=h$, $a+3bm^2=0$ から

$$m_{\mathrm{sp}}^2=\frac{\lvert a\rvert }{3b},\qquad \lvert h_{\mathrm{sp}}\rvert =\frac{2}{3\sqrt3}\frac{\lvert a\rvert ^{3/2}}{\sqrt b}\tag{3.10.21}$$

を得る。この $h_{\mathrm{sp}}$ をスピノーダルの外場と呼ぶ。$\lvert h\rvert <\lvert h_{\mathrm{sp}}\rvert$ の範囲では極小が2つあり、平衡は深い方、準安定は浅い方である。

温度で駆動した1次相転移

外場が $0$ でも、温度を変えただけで秩序変数が跳ぶ転移がある。Landau 関数の4次の係数が負の場合で、そのときは安定のために6次の項を足し

$$f(m)-f_0=\frac{a}{2}m^2+\frac{b}{4}m^4+\frac{c}{6}m^6,\qquad a=a_0(T-T_0),\quad b<0,\quad c>0\tag{3.10.22}$$

を選ぶ。$u=m^2$ と置くと、$m\neq0$ の極値は $f'(m)/m=a+bu+cu^2=0$ で決まる。$m=0$ の相と $m\neq0$ の相が共存するのは、$m\neq0$ の極小の値が $m=0$ の値 $0$ に等しいときで、$f-f_0=0$ と $f'=0$ を連立させると

$$u^*=m^{*2}=-\frac{3b}{4c},\qquad a_1=a_0(T_1-T_0)=\frac{3b^2}{16c}\tag{3.10.23}$$

となる（$f/u$ の式の2倍から $f'/m$ の式を引けば $-bu/2-2cu^2/3=0$ が出る）。転移温度 $T_1$ は $T_0$ より高く、そこで $m$ は $0$ から $m^*$ へ跳ぶ。$T_1$ でエントロピー $-\partial f/\partial T$ も跳び、その差 $\Delta s=a_0u^*/2$ に $T_1$ を掛けた潜熱 $L=T_1a_0u^*/2$ が出入りする。

この場合も準安定状態がある。$m\neq0$ の極小は $a+bu+cu^2=0$ が正の実数解を持つ間、すなわち $a\le b^2/(4c)$ の間だけ存在する（過熱の限界）。$m=0$ の極小は $a\ge0$ の間存在する（過冷却の限界 $T_0$）。$T_0<T<T_0+b^2/(4ca_0)$ の範囲で2つの極小が共存し、温度を上げるときと下げるときで転移の起きる温度が違いうる。

外場が無くても $f$ に $m^3$ の項が許される系（$m\to-m$ の対称性が無い系。液晶の配向や、3状態の Potts 模型）では、同じ理由で転移は必ず1次になる。2次相転移が起きるのは、対称性が奇数次の項を禁じ、しかも4次の係数が正の場合に限られる。