出てくるもの（2）：縦モードの競合と周波数の引き込み

光学と量子エレクトロニクス　第22章 §22.4　★★★ 一様に広がった利得を共有するモードの間では、$K_j\tau_{{\mathrm c}j}$ の最も大きいモードだけが残る。定在波の節の原子（空間的ホールバーニング）と不均一な広がりがこれを崩す。発振の周波数は共振器の共鳴から線の中心へ引き寄せられる

一様な広がりでは1つのモードだけが残る

共振器の縦モードは $\nu_{\mathrm{FSR}}=c/(2nL)$ おきに並び（第5章）、利得の線の幅 $\Delta\nu_{\mathrm g}$ の中に多数入る。モードを $j=1,2,\dots$ で番号づけ、それぞれの光子数を $n_j$ と書く。どの原子も同じ線の形 $\mathcal S(\omega)$ を持つ（一様な広がり）とし、モードの場が体積 $V$ の中で一様だとすると、すべてのモードは同じ原子の集まり $N$ と結合し、自然放出を落としたレート方程式は

$$\frac{\mathrm{d} n_j}{\mathrm{d} t}=\Bigl(K_jN-\frac{1}{\tau_{{\mathrm c}j}}\Bigr)n_j,\qquad \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=R_{\mathrm p}-\frac{N}{\tau}-N\sum_jK_jn_j\tag{22.16}$$

となる。$K_j=K(\omega_j)$ は式 (22.4) で、線の中心に近いモードほど大きい。

証明

$n_j>0$ なら $\mathrm{d}\ln n_j/\mathrm{d} t=K_jN-1/\tau_{{\mathrm c}j}$ である。$N(t)$ の形によらずに $N$ を消すため、$\ln n_j-(K_j/K_1)\ln n_1$ の時間変化をとると

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl[\ln n_j-\frac{K_j}{K_1}\ln n_1\Bigr]=-\frac{1}{\tau_{{\mathrm c}j}}+\frac{K_j}{K_1}\frac{1}{\tau_{{\mathrm c}1}}=-\frac{1}{\tau_{{\mathrm c}j}}\Bigl(1-\frac{K_j\tau_{{\mathrm c}j}}{K_1\tau_{{\mathrm c}1}}\Bigr)\equiv-\kappa_j<0$$

となり、$n_j(t)=C_j\,n_1(t)^{K_j/K_1}\mathrm{e}^{-\kappa_jt}$（$C_j$ は初期値で決まる定数）である。一方、$E=N+\sum_jn_j$ は $\mathrm{d} E/\mathrm{d} t=R_{\mathrm p}-N/\tau-\sum_jn_j/\tau_{{\mathrm c}j}\le R_{\mathrm p}-E/\tau_{\max}$（$\tau_{\max}$ は $\tau$ と $\tau_{{\mathrm c}j}$ の最大）を満たすので、$E$ は有界で、$n_1$ も有界である。したがって $n_j\le C_j(\sup n_1)^{K_j/K_1}\mathrm{e}^{-\kappa_jt}\to0$。

証明が $N(t)$ の形を使っていないことに注意する。モードたちは同じ反転分布 $N$ から利得を受け取るので、$N$ がどう動いても、利得と損失の比 $K_j\tau_{{\mathrm c}j}$ の大きいモードが小さいモードに対して指数関数的に増える。十分に時間が経つと $N$ はモード $1$ のしきい値 $1/(K_1\tau_{{\mathrm c}1})$ に固定され、ほかのモードはその $N$ で利得が損失に届かず、減り続ける。これが一様に広がった利得の媒質の縦モードの競合である。

空間的ホールバーニング

定理 22.3 は、すべてのモードが同じ原子と同じ強さで結合するという仮定に立っている。実際の2枚の鏡の共振器の縦モードは定在波 $\sin^2(k_jz)$ の強度の分布を持ち、モード $1$ の節にいる原子はモード $1$ の誘導放出に使われないまま、反転分布を保つ。隣のモードの腹はモード $1$ の節とずれているので、この残った反転分布から利得を受け取ることができる。これを空間的ホールバーニングと呼ぶ。

モード $1$ が腹で強度 $s\,I_{\mathrm{sat}}$ を持つとすると、位置 $z$ の反転分布は $N(z)\propto1/[1+s\sin^2(k_1z)]$ で、モード $j$ が受け取る利得は $N(z)$ を自分の強度の分布 $2\sin^2(k_jz)$ で平均したものに比例する。媒質が共振器を満たしていれば、隣り合うモードの間で $k_jz-k_1z$ が媒質の中で一様に $0$ から $\pi$ まで動くので、$\sin^2(k_jz)$ は $N(z)$ と相関しない平均 $\tfrac12$ で置き換えてよい。このとき、モード $1$ 自身とモード $j$ の利得の比は

$$\frac{g_j}{g_1}=\frac{\langle N \rangle }{\langle 2N\sin^2(k_1z) \rangle }=\frac{(1+s)^{-1/2}}{(2/s)\bigl[1-(1+s)^{-1/2}\bigr]}=\frac{s}{2(\sqrt{1+s}-1)}\tag{22.17}$$

となる（平均は $\theta=k_1z$ についてとり、$\langle 1/(1+s\sin^2\theta) \rangle =1/\sqrt{1+s}$ を使った）。$s\to0$ で比は $1$ に戻り、$s$ が大きくなると $1$ より大きくなる。モード $1$ の利得は損失に固定されているので、比が $1$ を超えたモードは、線の中心から少し外れて $K_j$ が小さくても発振を始めることができる。

空間的ホールバーニングをなくすには、定在波を作らない共振器を使えばよい。光が一方向にだけ回るリング共振器（光アイソレータで逆向きを止める）では強度の分布が一様になり、一様に広がった媒質は定理 22.3 どおり単一モードで発振する。

不均一な広がり

気体のレーザーでは、原子が光軸方向の速度 $v$ を持ち、Doppler 効果で原子ごとに共鳴の周波数が $\nu_0(1+v/c)$ にずれる。原子の集まりの線の形は、個々の原子の幅（一様な幅）より広い Gauss 形になり、その全幅は

$$\Delta\nu_{\mathrm D}=\frac{\nu_0}{c}\sqrt{\frac{8 k_{\mathrm B} T\ln2}{M}}\tag{22.18}$$

である（$M$ は原子の質量。Maxwell の速度分布の光軸方向の成分の幅を周波数に直した。分光の線幅としては第24章（第24章）で扱う）。このように原子ごとに共鳴の周波数が違う広がりを不均一な広がりと呼ぶ。周波数 $\nu_j$ のモードは、その周波数に共鳴する速度の原子（一様な幅の範囲の原子）とだけ強く結合するので、モードどうしが別々の原子の集まりから利得を受け取り、定理 22.3 の「共有する $N$」の仮定が成り立たない。各モードは利得の曲線の自分の周波数の所にだけ穴を開けて飽和させ（スペクトルのホールバーニング）、小信号の利得 $g_0(\nu_j)$ がしきい値 $g_{\mathrm{th}}$ を超えるモードはすべて発振する。Gauss 形の利得 $g_0(\nu)=g_0(\nu_0)\exp[-4\ln2\,(\nu-\nu_0)^2/\Delta\nu_{\mathrm D}^2]$ がしきい値を超える周波数の幅は$\Delta\nu_{\mathrm D}\sqrt{\ln[g_0(\nu_0)/g_{\mathrm{th}}]/\ln2}$ で、これを $\nu_{\mathrm{FSR}}$ で割ったものが、発振するモードの数の目安になる（図 22.3）。

周波数の引き込み

発振の周波数は、1周の位相の条件で決まる。利得の媒質の感受率を $\chi=\chi'+\mathrm{i}\chi''$ とすると、媒質の中の波数は $k=(\omega/c)\sqrt{n^2+\chi}\approx(\omega/c)[n+\chi/(2n)]$ で、強度の利得の係数は $g=-2\operatorname{Im} k=-(\omega/nc)\chi''$、位相の条件は $2L\operatorname{Re} k=2\pi\ell$ である。$\chi$ が無いときの共鳴の角周波数を $\omega_{\mathrm c}$（$\omega_{\mathrm c}nL/c=\pi\ell$）と書くと、位相の条件は $\omega[1+\chi'/(2n^2)]=\omega_{\mathrm c}$ になる。一様に広がった Lorentz 形の線では、第11章（第11章）の振動子の感受率を共鳴の近くで書いた形から $\chi'/\chi''=2(\omega_0-\omega)/\Delta\omega_{\mathrm g}$ で（利得の媒質でも、全体の符号が変わるだけでこの比は同じ）、しきい値では $\chi''=-ncg_{\mathrm{th}}/\omega$、$cg_{\mathrm{th}}/n=1/\tau_{\mathrm c}\equiv\Delta\omega_{\mathrm c}$（共振器の共鳴の全幅。第5章の線幅 $1/(2\pi\tau_{\mathrm c})$ を角周波数で書いたもの）である。これを位相の条件に入れると

$$\omega=\frac{\omega_{\mathrm c}\,\Delta\omega_{\mathrm g}+\omega_0\,\Delta\omega_{\mathrm c}}{\Delta\omega_{\mathrm g}+\Delta\omega_{\mathrm c}}\tag{22.19}$$

を得る。発振の角周波数は、共振器の共鳴 $\omega_{\mathrm c}$ と線の中心 $\omega_0$ を、それぞれの幅の逆数の重みで平均したもので、線の中心の側へ $(\omega_0-\omega_{\mathrm c})\Delta\omega_{\mathrm c}/(\Delta\omega_{\mathrm g}+\Delta\omega_{\mathrm c})$ だけ引き寄せられる。普通のレーザーでは $\Delta\omega_{\mathrm c}\ll\Delta\omega_{\mathrm g}$ なので、発振の周波数はほぼ共振器の共鳴で決まり、線の中心の側へのずれは小さい。共鳴の幅が狭い（$Q$ 値の高い）ほうが周波数を決める。