出てくるもの（3）：Schawlow–Townes の線幅

光学と量子エレクトロニクス　第22章 §22.5　★★★ モードへの自然放出は場に乱れた位相の寄与を足し、位相は拡散係数 $KN_2/(2n_{\mathrm{ph}})$ で拡散する。線幅は共振器の幅の $n_{\mathrm{sp}}/(2n_{\mathrm{ph}})$ 倍、$\Delta\nu=\pi h\nu n_{\mathrm{sp}}\Delta\nu_{\mathrm c}^2/P_{\mathrm{out}}$

レート方程式では線幅が出ない

22.2節のレート方程式は光子の数だけを追い、場の位相を追わない。場を古典的な複素振幅 $\alpha(t)$（$\lvert \alpha\rvert ^2=n_{\mathrm{ph}}$。モードの場は $\operatorname{Re}[\alpha\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}]$ に比例する）で書くと、誘導放出と損失は

$$\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} t}=\frac12\Bigl(KN-\frac{1}{\tau_{\mathrm c}}\Bigr)\alpha$$

という式になり、$\lvert \alpha\rvert ^2$ についての式がレート方程式の1本目（$+1$ を除いた形）に戻る。この式は位相を変えないので、しきい値より上の定常解は1つの決まった周波数で振動する完全な正弦波で、線幅は $0$ である。線幅を出すには、レート方程式の $+1$、すなわちモードへの自然放出を、場の振幅の言葉で書く必要がある。自然放出の光は誘導放出の光と位相がそろっていないので、場に乱れた位相の寄与を足す。

振幅の Langevin 方程式

自然放出の寄与を、白色の複素数の雑音 $F(t)$ として振幅の式に足す。

$$\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} t}=\frac12\Bigl(KN-\frac{1}{\tau_{\mathrm c}}\Bigr)\alpha+F(t),\qquad \langle F(t)F^*(t') \rangle =2D\,\delta(t-t'),\quad \langle F(t)F(t') \rangle =0.\tag{22.20}$$

雑音の強さ $D$ は、光子数の式から決まる。式 (22.20) から $\lvert \alpha\rvert ^2$ の平均の変化を計算すると（時間の刻み $\mathrm{d} t$ の間の雑音の寄与 $\int F\,\mathrm{d} t$ は大きさが $\sqrt{\mathrm{d} t}$ の桁なので、その2乗が $\mathrm{d} t$ の1次に残る）

$$\frac{\mathrm{d} \langle \lvert \alpha\rvert ^2 \rangle }{\mathrm{d} t}=\Bigl(KN-\frac{1}{\tau_{\mathrm c}}\Bigr)\langle \lvert \alpha\rvert ^2 \rangle +2D$$

で、これがレート方程式 $\mathrm{d} n_{\mathrm{ph}}/\mathrm{d} t=KN(n_{\mathrm{ph}}+1)-n_{\mathrm{ph}}/\tau_{\mathrm c}$ に一致するには $2D=KN$ でなければならない。下の準位の原子が残る媒質では、誘導放出と吸収の差が $KN$（$N=N_2-N_1$ は反転分布）、モードへの自然放出は上の準位の原子だけからの $KN_2$ なので、一般には

$$2D=KN_2=n_{\mathrm{sp}}KN,\qquad n_{\mathrm{sp}}=\frac{N_2}{N_2-N_1}\ge1\tag{22.21}$$

である（4準位の媒質では $N_1=0$ で $n_{\mathrm{sp}}=1$）。$n_{\mathrm{sp}}$ を自然放出の因子と呼ぶ。

位相の拡散と線幅

しきい値より上で $\alpha=\sqrt{n_{\mathrm{ph}}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}$ と書く。振幅 $\sqrt{n_{\mathrm{ph}}}$ のずれは、利得の飽和が働いて緩和振動の速さで定常の値へ戻される。位相 $\phi$ には戻す力が無い。式 (22.20) の位相の部分は $\mathrm{d}\phi/\mathrm{d} t=\operatorname{Im}[F\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi}]/\sqrt{n_{\mathrm{ph}}}$ で、$F$ の位相の向きの成分 $\operatorname{Im}[F\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi}]$ は強さ $D$ の実の白色雑音（$\langle \operatorname{Im}[\cdot]\operatorname{Im}[\cdot] \rangle =D\delta(t-t')$）なので、位相は酔歩をして、

$$\langle [\phi(t)-\phi(0)]^2 \rangle =\frac{D}{n_{\mathrm{ph}}}\,t\tag{22.22}$$

で広がる。位相が Gauss 分布で広がるとき、場の自己相関は $\langle \alpha^*(0)\alpha(t) \rangle =n_{\mathrm{ph}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{e}^{-\langle \Delta\phi^2 \rangle /2}=n_{\mathrm{ph}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{e}^{-Dt/(2n_{\mathrm{ph}})}$ で、Wiener–Khinchin の定理（第9章（第9章））からスペクトルはその Fourier 変換、すなわち角周波数の全幅 $D/n_{\mathrm{ph}}$ の Lorentz 形になる。式 (22.21) としきい値の上の $KN=1/\tau_{\mathrm c}$ を入れると、振動数の全幅は

$$\Delta\nu_{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2\pi}\frac{D}{n_{\mathrm{ph}}}=\frac{n_{\mathrm{sp}}}{4\pi\tau_{\mathrm c}n_{\mathrm{ph}}}=\frac{n_{\mathrm{sp}}}{2n_{\mathrm{ph}}}\,\Delta\nu_{\mathrm c}\tag{22.23}$$

となる（$\Delta\nu_{\mathrm c}=1/(2\pi\tau_{\mathrm c})$ は共振器の共鳴の全幅）。レーザーの線は、利得の無い共振器の共鳴より $2n_{\mathrm{ph}}/n_{\mathrm{sp}}$ 倍細い。共振器の損失がすべて出力鏡の透過だとすると、出力は $P_{\mathrm{out}}=\hbar\omega n_{\mathrm{ph}}/\tau_{\mathrm c}$ なので、$n_{\mathrm{ph}}$ を消して

$$\Delta\nu_{\mathrm{ST}}=\frac{\pi h\nu\,n_{\mathrm{sp}}\,\Delta\nu_{\mathrm c}^2}{P_{\mathrm{out}}}\tag{22.24}$$

を得る。これが Schawlow と Townes がレーザーの実現の前に見積もった線幅の式（A. L. Schawlow and C. H. Townes (1958), Phys. Rev. 112, 1940）の、しきい値より上での形である。線幅は出力に反比例し、共振器の幅の2乗に比例する。

しきい値より下では、場は線形の式 (22.20)（$KN<1/\tau_{\mathrm c}$）に従う雑音で、振幅も位相も揺らぐ。このときスペクトルは全幅 $1/\tau_{\mathrm c}-KN$ の Lorentz 形で、光子数の平均は $n_{\mathrm{ph}}=2D/(1/\tau_{\mathrm c}-KN)$ なので、角周波数の全幅は $2D/n_{\mathrm{ph}}$ と書ける。同じ光子数で比べると、しきい値の下の線幅は上の2倍になる。しきい値の上では振幅の揺らぎが利得の飽和で抑えられ、雑音の半分（振幅の向きの成分）が線幅に寄与しなくなるからである。