光学と量子エレクトロニクス 第22章 §22.6 ★★ 分極の断熱消去（レート方程式）・場を古典の振幅に置く平均場・自然放出を白色雑音とすること。測る量は光出力と励起の曲線・緩和振動の山・モードのスペクトル・ビートの幅
置いた近似
1つ目は、原子の分極（光の振動数で振動する双極子）を追わず、原子の数と光子の数だけを追ったことである。光 Bloch 方程式（第19章（第19章 ））では、分極は横緩和の時間 T 2 T_2 T 2 τ \tau τ τ c \tau_{\mathrm c} τ c T 2 T_2 T 2 T 2 T_2 T 2 τ c \tau_{\mathrm c} τ c τ \tau τ T 2 T_2 T 2 τ c \tau_{\mathrm c} τ c
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの T 2 / τ c → 0 T_2/\tau_{\mathrm c}\to0 T 2 / τ c → 0 T 2 / τ → 0 T_2/\tau\to0 T 2 / τ → 0 証明 条件付き（Tikhonov の定理の前提＝速い変数の方程式が一様に漸近安定。分極の式は線形で減衰 1 / T 2 1/T_2 1/ T 2 T 2 T_2 T 2 τ c \tau_{\mathrm c} τ c 行き先 近似の数理 第7章
2つ目は、場を古典的な複素振幅（またはその絶対値の2乗の光子数）として扱い、原子の集まりと場を、それぞれの平均だけで結合させたことである。誘導放出の速さを K N n p h KNn_{\mathrm{ph}} K N n ph V V V 22.4 節の空間的ホールバーニングで、横の分布の違いはモードの断面積 A A A + 1 +1 + 1 第30章 ）・第34章）を足して初めて出る。
近似の裏付け
型 C（閉じる） ｜ 小さいもの 原子と光子の積の平均を平均の積で置き換え、場を古典の振幅に置く（小さいパラメータなし） ｜ 証明 C 型＝内部の評価なし（自然放出の項は外から足した。原子の数が多いほど揺らぎの相対的な大きさは小さくなるが、その評価はここでは与えていない） ｜ 行き先 近似の数理 第6章
3つ目は、22.5 節で自然放出の寄与を、時間の相関の無い白色の雑音としたことである。自然放出を起こす真空の場の揺らぎの相関の時間は、光の周期の桁で、線幅の逆数（ミリ秒から秒）よりはるかに短い。この時間の比を 0 0 0
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの 雑音の相関の時間と位相の拡散の時間の比 → 0 \to0 → 0 証明 要確認（弱結合の極限での Markov の近似の正当化の前提を、レーザーの雑音の場合について原論文で確かめていない） ｜ 行き先 近似の数理 第14章
何の実験の量で確かめるか
1つ目は、励起の強さを変えて出力を測った曲線である。しきい値より上の直線の傾き（スロープ効率）は、式 (22.13) の T / ( T + L i ) \mathcal T/(\mathcal T+L_{\mathrm i}) T / ( T + L i ) L i L_{\mathrm i} L i 22.1 の跳びの大きさから β \beta β f f f ω R / 2 π \omega_{\mathrm R}/2\pi ω R /2 π ξ − 1 \sqrt{\xi-1} ξ − 1 (22.22) は、ビートの信号の位相が時間とともに広がる様子として直接見える。
最初のレーザーは Maiman のルビーのレーザー（T. H. Maiman (1960), Nature 187, 493）で、ルビーは3準位の媒質なので、しきい値に達するには基底状態の原子の半分以上を励起しなければならない（第21章）。レーザーの半古典の理論（場を古典の振幅、原子を量子の2準位系として、分極まで残したもの）は Lamb が組み立て（W. E. Lamb, Jr. (1964), Phys. Rev. 134, A1429）、周波数の引き込みや、不均一な広がりの媒質で出力が線の中心でくぼむ現象（Lamb dip。第24章）をこの理論から出した。
授業で習った形との対応
学部のレーザー工学や光エレクトロニクスの授業では、しきい値の条件を鏡の強度の反射率 R 1 R_1 R 1 R 2 R_2 R 2 α i \alpha_{\mathrm i} α i
R 1 R 2 e 2 ( g t h − α i ) l = 1 , g t h = α i + 1 2 l ln 1 R 1 R 2 R_1R_2\,\mathrm{e}^{2(g_{\mathrm{th}}-\alpha_{\mathrm i})l}=1,\qquad g_{\mathrm{th}}=\alpha_{\mathrm i}+\frac{1}{2l}\ln\frac{1}{R_1R_2} R 1 R 2 e 2 ( g th − α i ) l = 1 , g th = α i + 2 l 1 ln R 1 R 2 1
と書く（l l l (22.9) に内部の損失を足して、r 1 2 r 2 2 → R 1 R 2 r_1^2r_2^2\to R_1R_2 r 1 2 r 2 2 → R 1 R 2 c / n c/n c / n K N t h = 1 / τ c KN_{\mathrm{th}}=1/\tau_{\mathrm c} K N th = 1/ τ c I I I N N N S S S
d N d t = η i I e V a − N τ n − v g g ( N ) S , d S d t = Γ v g g ( N ) S − S τ p + Γ β N τ n \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=\frac{\eta_{\mathrm i}I}{eV_{\mathrm a}}-\frac{N}{\tau_{\mathrm n}}-v_{\mathrm g}g(N)S,\qquad
\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t}=\Gamma v_{\mathrm g}g(N)S-\frac{S}{\tau_{\mathrm p}}+\Gamma\beta\frac{N}{\tau_{\mathrm n}} d t d N = e V a η i I − τ n N − v g g ( N ) S , d t d S = Γ v g g ( N ) S − τ p S + Γ β τ n N
と書く。この章の式 (22.7) と比べると、励起の速さが R p = η i I / e R_{\mathrm p}=\eta_{\mathrm i}I/e R p = η i I / e η i \eta_{\mathrm i} η i V a V_{\mathrm a} V a τ p = τ c \tau_{\mathrm p}=\tau_{\mathrm c} τ p = τ c v g g ( N ) v_{\mathrm g}g(N) v g g ( N ) K K K Γ \Gamma Γ Γ = 1 \Gamma=1 Γ = 1 N N N g ( N ) g(N) g ( N ) K K K N N N
線幅の式は授業では Δ ν = π h ν ( Δ ν c ) 2 / P \Delta\nu=\pi h\nu(\Delta\nu_{\mathrm c})^2/P Δ ν = π h ν ( Δ ν c ) 2 / P (22.24) で n s p = 1 n_{\mathrm{sp}}=1 n sp = 1 1 + α H 2 1+\alpha_{\mathrm H}^2 1 + α H 2 α H \alpha_{\mathrm H} α H α H = Δ n ′ / Δ n ′ ′ \alpha_{\mathrm H}=\Delta n'/\Delta n'' α H = Δ n ′ /Δ n ′′
例題 22.8 半導体レーザーのしきい値と線幅 ★★
オリジナル 長さ 300 μ m 300\,\mu\mathrm m 300 μ m 3.5 3.5 3.5 4.0 4.0 4.0 1.55 μ m 1.55\,\mu\mathrm m 1.55 μ m α i = 10 c m − 1 \alpha_{\mathrm i}=10\,\mathrm{cm^{-1}} α i = 10 c m − 1 Γ = 1 \Gamma=1 Γ = 1 n s p = 2 n_{\mathrm{sp}}=2 n sp = 2 α H = 5 \alpha_{\mathrm H}=5 α H = 5
(1) 垂直入射の Fresnel の反射率（第14章）から鏡の強度の反射率を求め、しきい値の利得の係数、光子の寿命（τ c = n g / ( c g t h ) \tau_{\mathrm c}=n_{\mathrm g}/(cg_{\mathrm{th}}) τ c = n g / ( c g th ) (2) 両端から 1 m W 1\,\mathrm{mW} 1 mW
解答 (1) 空気との境界の垂直入射の反射率は R = [ ( 3.5 − 1 ) / ( 3.5 + 1 ) ] 2 = 0.309 R=[(3.5-1)/(3.5+1)]^2=0.309 R = [( 3.5 − 1 ) / ( 3.5 + 1 ) ] 2 = 0.309 第14章 ）。授業の形の式からg t h = 10 c m − 1 + ln ( 1 / 0.309 2 ) / ( 2 × 0.030 c m ) = 10 + 39.2 = 49.2 c m − 1 g_{\mathrm{th}}=10\,\mathrm{cm^{-1}}+\ln(1/0.309^2)/(2\times0.030\,\mathrm{cm})=10+39.2=49.2\,\mathrm{cm^{-1}} g th = 10 c m − 1 + ln ( 1/0.30 9 2 ) / ( 2 × 0.030 cm ) = 10 + 39.2 = 49.2 c m − 1 c / n g c/n_{\mathrm g} c / n g τ c = n g / ( c g t h ) = 4.0 / ( 3.00 × 10 8 × 4919 m − 1 ) = 2.71 p s \tau_{\mathrm c}=n_{\mathrm g}/(cg_{\mathrm{th}})=4.0/(3.00\times10^8\times4919\,\mathrm{m^{-1}})=2.71\,\mathrm{ps} τ c = n g / ( c g th ) = 4.0/ ( 3.00 × 1 0 8 × 4919 m − 1 ) = 2.71 ps Δ ν c = 1 / ( 2 π τ c ) = 59 G H z \Delta\nu_{\mathrm c}=1/(2\pi\tau_{\mathrm c})=59\,\mathrm{GHz} Δ ν c = 1/ ( 2 π τ c ) = 59 GHz 22.7 の He–Ne レーザーの7万倍広い。
(2) 損失のうち鏡から出る割合は 39.2 / 49.2 = 0.797 39.2/49.2=0.797 39.2/49.2 = 0.797 2 m W 2\,\mathrm{mW} 2 mW 2 m W / 0.797 = 2.51 m W = ℏ ω n p h / τ c 2\,\mathrm{mW}/0.797=2.51\,\mathrm{mW}=\hbar\omega n_{\mathrm{ph}}/\tau_{\mathrm c} 2 mW /0.797 = 2.51 mW = ℏ ω n ph / τ c ℏ ω = h c / λ = 1.28 × 10 − 19 J \hbar\omega=hc/\lambda=1.28\times10^{-19}\,\mathrm J ℏ ω = h c / λ = 1.28 × 1 0 − 19 J n p h = 2.51 × 10 − 3 × 2.71 × 10 − 12 / ( 1.28 × 10 − 19 ) = 5.3 × 10 4 n_{\mathrm{ph}}=2.51\times10^{-3}\times2.71\times10^{-12}/(1.28\times10^{-19})=5.3\times10^4 n ph = 2.51 × 1 0 − 3 × 2.71 × 1 0 − 12 / ( 1.28 × 1 0 − 19 ) = 5.3 × 1 0 4 (22.23) に Henry の因子をかけて Δ ν = n s p ( 1 + α H 2 ) / ( 4 π τ c n p h ) = 2 × 26 / ( 4 π × 2.71 × 10 − 12 × 5.3 × 10 4 ) = 29 M H z \Delta\nu=n_{\mathrm{sp}}(1+\alpha_{\mathrm H}^2)/(4\pi\tau_{\mathrm c}n_{\mathrm{ph}})=2\times26/(4\pi\times2.71\times10^{-12}\times5.3\times10^4)=29\,\mathrm{MHz} Δ ν = n sp ( 1 + α H 2 ) / ( 4 π τ c n ph ) = 2 × 26/ ( 4 π × 2.71 × 1 0 − 12 × 5.3 × 1 0 4 ) = 29 MHz 1.1 M H z 1.1\,\mathrm{MHz} 1.1 MHz
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
