出てくるもの（3）：損失・Q 値・フィネス

光学と量子エレクトロニクス　第5章 §5.5　★★★ 1周で振幅に $r_1r_2$ がかかると、光子の寿命 $\tau_{\mathrm c}$ と共鳴の幅 $1/(2\pi\tau_{\mathrm c})$ が決まる。共振器のモードは減衰のある調和振動子で、Q 値は Lorentz 振動子と同じ定義

光子の寿命

鏡の振幅の反射率を $r_1$, $r_2$（$0<r_i<1$）とする。強度の反射率は $r_i^2$ で、鏡が光を吸わなければ残りの $\mathcal T_i=1-r_i^2$ が透過する（正本に無い記号 $\mathcal T_i$ を使うのは、温度 $T$ と行列 $T(d)$ との紛れを避けるため）。外から光を入れずに、共振器の中にモードの光を用意して放すと、1周（時間 $t_{\mathrm{rt}}=2L/c$）ごとにエネルギーは $r_1^2r_2^2$ 倍になる。$N$ 周後の時刻 $t=Nt_{\mathrm{rt}}$ で$U(t)=U(0)(r_1^2r_2^2)^{t/t_{\mathrm{rt}}}=U(0)\mathrm{e}^{-t/\tau_{\mathrm c}}$ となるので、

$$\tau_{\mathrm c}=\frac{t_{\mathrm{rt}}}{-\ln(r_1^2r_2^2)}=\frac{2L}{c\,[-\ln(r_1^2r_2^2)]}\approx\frac{2L}{c\,\eta_{\mathrm{rt}}},\qquad \eta_{\mathrm{rt}}=1-r_1^2r_2^2\tag{5.16}$$

である。$\tau_{\mathrm c}$ を光子の寿命（共振器の寿命）、$\eta_{\mathrm{rt}}$ を1周の損失の割合と呼ぶ。近似の等号は $\eta_{\mathrm{rt}}\ll1$ で $-\ln(1-\eta_{\mathrm{rt}})\approx\eta_{\mathrm{rt}}$ としたものである。ここでは周回ごとのとびとびの減衰を、時間について一様な指数関数の減衰に均した。均してよいのは、1周の時間 $t_{\mathrm{rt}}$ が寿命 $\tau_{\mathrm c}$ より十分短い（$t_{\mathrm{rt}}/\tau_{\mathrm c}\approx\eta_{\mathrm{rt}}\ll1$）ときである。

外から光を入れたときの共鳴：Airy 関数

鏡1の外から、振幅 $E_{\mathrm{in}}$、周波数 $\nu$ の光をモードの形に合わせて入れる。鏡1を抜けた直後の振幅は $\sqrt{\mathcal T_1}E_{\mathrm{in}}$ で、これが1周ごとに $r_1r_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}$（$\phi$ は1周の位相。基本モードなら $\phi=2kL-\theta$）をかけられて重なるので、鏡1の内側を回る場は等比級数の和

$$E_{\mathrm c}=\sqrt{\mathcal T_1}E_{\mathrm{in}}\sum_{N=0}^{\infty}(r_1r_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi})^N=\frac{\sqrt{\mathcal T_1}E_{\mathrm{in}}}{1-r_1r_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}}$$

になる。$\lvert 1-r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\rvert ^2=(1-r)^2+4r\sin^2(\phi/2)$ を使い、$r_{12}=r_1r_2$ と書くと、共振器の中を回るパワー $P_{\mathrm c}$ は

$$\frac{P_{\mathrm c}}{P_{\mathrm{in}}}=\frac{\mathcal T_1}{(1-r_{12})^2}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{4r_{12}}{(1-r_{12})^2}\sin^2\dfrac{\phi}{2}}\tag{5.17}$$

である。右辺の2つ目の因子を Airy 関数と呼ぶ。$\phi$ が $2\pi$ の整数倍、すなわち式 (5.14) の共鳴周波数で最大値 $1$ をとり、その間で小さくなる。共鳴では中を回るパワーが入射の $\mathcal T_1/(1-r_{12})^2$ 倍に増える。$r_1=r_2$ で鏡が光を吸わなければ、この倍率は $1/\mathcal T_1$ になり、透過する光 $\mathcal T_2P_{\mathrm c}$ は入射と等しくなる（反射と透過の釣り合いは 第9章で扱う）。

Airy 関数が $1/2$ になる $\phi$ は $\sin(\phi/2)=(1-r_{12})/(2\sqrt{r_{12}})$ で、共鳴の山の半値全幅は位相で $4\arcsin\bigl[(1-r_{12})/(2\sqrt{r_{12}})\bigr]$ である。山の間隔（$2\pi$）と幅の比をフィネスと呼ぶ。

$$\mathcal F=\frac{\nu_{\mathrm{FSR}}}{\Delta\nu_{1/2}}=\frac{\pi}{2\arcsin\bigl[(1-r_{12})/(2\sqrt{r_{12}})\bigr]}\approx\frac{\pi\sqrt{r_{12}}}{1-r_{12}}\approx\frac{2\pi}{\eta_{\mathrm{rt}}}.\tag{5.18}$$

$\Delta\nu_{1/2}$ は周波数で測った共鳴の半値全幅（線幅）である。最後の近似は $r_{12}\to1$ で $1-r_{12}^2\approx2(1-r_{12})$ を使った。フィネスは、光が消えるまでに共振器を往復するおおよその回数に $2\pi$ を掛けたもの（$\mathcal F\approx2\pi\tau_{\mathrm c}/t_{\mathrm{rt}}$）である。

共振器のモードは減衰のある調和振動子

共鳴 $\phi=2\pi\ell$ の近くで $\phi=2\pi\ell+\varphi$ とおき、$\sin^2(\varphi/2)\approx\varphi^2/4$ とすると、Airy 関数は

$$\frac{1}{1+r_{12}\varphi^2/(1-r_{12})^2}=\frac{1}{1+\bigl[2(\omega-\omega_\ell)\tau_{\mathrm c}\bigr]^2}\tag{5.19}$$

の Lorentz 形になる。ここで $\varphi=(\omega-\omega_\ell)t_{\mathrm{rt}}$（$\omega_\ell$ は共鳴の角周波数）とし、式 (5.16) の $t_{\mathrm{rt}}/\tau_{\mathrm c}=-2\ln r_{12}\approx2(1-r_{12})$ から$1-r_{12}\approx t_{\mathrm{rt}}/(2\tau_{\mathrm c})$ として、$r_{12}\varphi^2/(1-r_{12})^2\approx(\omega-\omega_\ell)^2t_{\mathrm{rt}}^2\cdot4\tau_{\mathrm c}^2/t_{\mathrm{rt}}^2$ と書き直した（$r_{12}\approx1$）。半値全幅は角周波数で $1/\tau_{\mathrm c}$、周波数で

$$\Delta\nu_{1/2}=\frac{1}{2\pi\tau_{\mathrm c}}\tag{5.20}$$

である。これは、エネルギーが率 $1/\tau_{\mathrm c}$ で減る振動子の共鳴の幅にほかならない。第1章の Lorentz 振動子（第1章）は減衰率 $\gamma$ で振幅が $\mathrm{e}^{-\gamma t/2}$、エネルギーが $\mathrm{e}^{-\gamma t}$ で減り、吸収の線の半値全幅は角周波数で $\gamma$ だった。共振器のモードは $\gamma=1/\tau_{\mathrm c}$ の減衰のある調和振動子で、エネルギーの減衰率と線幅が等しいという関係は、振動子の種類によらない。

振動子の鋭さを表すQ 値は、共鳴の周波数と線幅の比、または1ラジアンの振動のあいだに失うエネルギーに対する蓄えたエネルギーの比として定義する。

$$Q=\frac{\nu}{\Delta\nu_{1/2}}=\omega\tau_{\mathrm c}=\frac{\nu}{\nu_{\mathrm{FSR}}}\,\mathcal F\approx\ell\,\mathcal F .\tag{5.21}$$

フィネスは共振器の長さによらない鏡の質の指標で、Q 値は長さ（縦モードの番号 $\ell$）を掛けたものである。同じ鏡でも長い共振器ほど Q 値は高い。Lorentz 振動子の Q 値も同じ定義で $Q=\omega_0/\gamma$ と書け、光共振器と原子の吸収の線を同じ物差しで比べることができる。共振器の中に原子を置いたとき、原子の自然放出の速さが共振器の Q 値とモードの体積で変わる Purcell 効果は、この2つの振動子の結合の問題である（第34章）。